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Os autovalores de uma matriz inversível são sempre não-nulos?

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perguntada Fev 5, 2015 em Matemática por danielcajueiro (5,081 pontos)  
editado Fev 5, 2015 por danielcajueiro
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respondida Fev 5, 2015 por danielcajueiro (5,081 pontos)  
editado Mar 15, 2015 por danielcajueiro

Sim!

Seja \(A\) um matriz inversível, isto é, \(AA^{-1}=I\). De acordo com a definição de autovalor, \(\lambda\) é uma autovalor de uma matriz \(A\) se, e somente se, \(det(A-\lambda I)=0\).

Suponha por contraposição que existe um autovalor nulo. Logo, da equação \(det(A-\lambda I)=0\), isso implica que \(det(A)=0\) que é um absurdo, pois supusemos que \(A\) é inversível.

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