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Por que é interessante estudar capitalização contínua (ou capitalização em tempo contínuo)?

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perguntada Mar 17, 2015 em Finanças por danielcajueiro (5,081 pontos)  
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respondida Mar 18, 2015 por danielcajueiro (5,081 pontos)  
editado Mar 20, 2015 por danielcajueiro

Existem vários motivos para estudar capitalização contínua:

(1) Entender o limite \(\lim_{n\rightarrow \infty}\left(1+\frac{r}{n}\right)^{nt}=e^{rt}.\)

(2) Entender a equação diferencial \(\frac{dB(t)}{dt}=rB(t)\), que é bastante intuitiva, cuja a solução é dada por \(B(t)=e^{rt}\).

(3) Existem vários papeis em vários lugares do mundo que são capitalizados continuamente.

(4) Existem vários trabalhos em finanças desenvolvidos para mercados financeiros, onde a capitalização é, por definição, contínua. O mais popular sem dúvida é a fórmula de Black-Scholes, que é usada (ou variações dessa fórmula) diariamente para precificar contratos de opções. O modelo de ativos por trás dessa forma assume que o mercado é formado por dois ativos. O primeiro ativo é uma obrigação capitalizada a taxa livre de risco

\[\frac{dB(t)}{dt}=rB(t)\]

e o segundo ativo é um ativo arriscado

\[dS(t)=\mu S(t) dt + \sigma S(t) dB(t).\]

Note que ambos ativos estão sujeitos a capitalização contínua. Entretanto, enquanto o primeiro ativo segue uma equação diferencial convencional (e determinística) o segundo ativo segue uma equação diferencial estocástica, onde \(\sigma\) é a volatilidade. De fato, a solução dessa equação, conhecida como movimento Browniano geométrico, é data por

\[S(t)=e^{(\mu -\frac{1}{2}\sigma^2) t + \sigma B(t) }\]

Note que ela é uma composição de um termo determinístico (diretamente relacionado com a pergunta) e de um termo estocástico.

(5) Existem trabalhos em teoria econômica que são definidos em tempo contínuo que dependem da noção de capitalização contínua. Um desses trabalhos clássicos é o problema de escolha ótima de carteira introduzido por Merton. Nesse trabalho define-se que o objetivo do agente é maximizar o valor esperado do consumo dado por

\[ \max E \left[ \int_0^T e^{-\rho s}u(c_s) ds + e^{-\rho T}u(W_T) \right] \]

onde \(E\) é o operador que representa o valor esperado, \(u\) é a função de utilidade e \(\gamma\) é a taxa de desconto.

A riqueza \(W\) do agente é regida por

\[d W_t = [(r + \pi_t(\mu-r))W_t - c_t ] dt +W_t \pi_t \sigma dB_t, \]

onde \(\pi\) é a proporção investida em cada um dos ativos (livre de risco e arriscado) e os outros termos definidos de acordo com o ítem (4) acima.

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