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Seja \(T: R^n \rightarrow R^n\) uma transformação linear. Se o núcleo de \(T\) é igual a imagem de \(T\) então \(n\) precisa ser par?

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perguntada Set 28, 2016 em Matemática por danielcajueiro (5,081 pontos)  
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1 Resposta

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respondida Set 28, 2016 por danielcajueiro (5,081 pontos)  

Sabemos que

\[dim N(T)+dim I(T)=dim V\]

Logo, se a imagem é igual ao núcleo, ambos tem a mesma dimensão e portanto a dimensão do espaço vetorial \(V\) precisa ser par. Note que no caso do \(\mathbb{R}^n\), então \(n\) precisa ser par.

Note que para isso ocorrer, sabendo que uma base do \(\mathbb{R}^n\) possui \(n\) vetores, os mesmos \(n/2\) vetores dessa base pertencem ao núcleo e a imagem e os outros \(n/2\) vetores restantes serão mapeados na imagem. Logo, os primeiros vetores \(n/2\) vetores precisam ser linear independentes (para ajudar a construir um exemplo lembre que dois vetores ortogonais no \(\mathbb{R}^n\) são linearmente independentes) com os \(n/2\) vetores restantes. Essa idéia dá pra construir um exemplo simples no \(\mathbb{R}^2\):

Suponha que \(e_1\) pertence ao núcleo e a imagem e \(e_2\) seja usado para gerar a imagem.

\[\left[ \begin{array}{cc} a & b\\ c & d\\ \end{array} \right]e_1=0\]

\[\left[ \begin{array}{cc} a & b\\ c & d\\ \end{array} \right]e_2=e_1\]

Da primeira equação temos que \(a=0\) e \(c=0\). Da segunda equação temos que \(b=1\) e \(d=0\).

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