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Encontre o subespaço vetorial que é a intersecção de dois subespaços vetoriais.

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perguntada Set 28, 2016 em Matemática por danielcajueiro (5,171 pontos)  

Sejam \(S\) o subespaço gerado pelos vetores do conjunto \(\{(2,5,3),(1,0,2)\}\) e \(T\) o subespaço gerado pelos vetores do conjunto \( \{(2,0,5),(3,5,5)\}\)

a) A intersecção de \(S\) e \(T\) é um subespaço vetorial? Justifique sua resposta com
todos os detalhes?

Se (a) é verdadeiro:

b) Calcule uma base para \(S\cap T\)?

c) Calcule a dimensão de \(S\cap T\).

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1 Resposta

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respondida Set 28, 2016 por danielcajueiro (5,171 pontos)  

Veja aqui que a intersecção de dois subespaços vetoriais é um subespaço vetorial.

Precisamos encontrar todos os vetores \((x,y,z)\) que podem ser encontrar a partir de

\[(x,y,z)=a(2,5,3)+b(1,0,2) (\star)\]

\[(x,y,z)=c(2,0,5)+b(3,5,5) (\star\star)\]

Ou seja,

\[x=2a+b\]

\[y=5a\]

\[z=3a+2b\]

\[x=2c+3d\]

\[y=5d\]

\[z=5c+5d\]

Ou seja, temos

\[2a+b=2c+3d\]

\[5a=5d\]

\[3a+2b=5c+5d\]

A solução desse sistema é \(a(1,1,0,1)\). Logo, substituindo essa solução em \((\star)\) ou \((\star\star)\), temos que a intersecção desses subespaços são todos os vetores da forma \(a(3,5,5),\;\;a\in \mathbb{R}\).

comentou Jul 22 por Gustavo Fleury (1 ponto)  
Neste caso a base seria o próprio vetor (3,5,5) e a dimensão do subespaço é 1?
comentou Jul 23 por danielcajueiro (5,171 pontos)  
Correto! Exatamente isso!
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