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Ache os pontos críticos de $f(x,y,z)=x^2 + xy + 5y^2 + 9(z-2)^2$ . Eles são pontos de máximo ou mínimo ou sela?

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perguntada Set 30, 2016 em Matemática por danielcajueiro (5,226 pontos)  
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1 Resposta

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respondida Out 1, 2016 por danielcajueiro (5,226 pontos)  

Vou seguir o procedimento apresentado nessa resposta.

1) Derive a função em relação a todas as coordenadas e iguale essas derivadas a zero:

\(\frac{\partial f(x,y,z)}{\partial x}=2x + y=0\), \(\frac{\partial f(x,y,z)}{\partial y}=x+10y=0\),
\(\frac{\partial f(x,y,z)}{\partial y}=18(z-2)=0\)

2) Encontre as soluções do sistema de equações:

Note que trivialmente a solução do sistema é (0,0,2).

3) Calcule a matriz de segundas derivadas da função:

\[H=\frac{\partial^2 f}{\partial x^2}=\left[\begin{array}{ccc} 2 & 1 & 0 \\ 1 & 10 & 0 \\ 0 & 0& 18\end{array} \right]\]

4) Substitua o ponto encontrado no ítem (2) na matriz hessiana encontrada em (3). De fato, note que a matriz hessiana independe do ponto encontrado. Logo,

\(|H_1|=2\)

\(|H_2|=19\)

\(|H_3|=360-18=342\)

Logo, o ponto encontrado é ponto de mínimo.

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