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Qual é a solução do problema de escolha dos agentes supondo que não existe consumo na data 0 e que exista restrição de venda a descoberto?

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1 Resposta

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respondida Nov 15, 2016 por João Gabriel Souza (76 pontos)  
editado Dez 8, 2016 por João Gabriel Souza

Suponha que exista dois estados na data 1 e dois agentes que consomem somente na data 1, os agentes \(i=1,2\) possuem a mesma função de utilidade.

\[ U\left(c_{1}^{i},c_{2}^{i}\right) = \frac{1}{2}ln(c_{1}^{i}) + \frac{1}{2}ln(c_{2}^{i}) \]

As dotações iniciais são zero na data 0 e (3,0) e (0,3) para os agentes 1 e 2 respectivamente na data 1. Existem três ativos com os seguintes payoffs:
\[ \begin{array}{rrl} x_{1} = (1,1), \ \ \ , x_{2} = (1,0), \ \ \ e \ \ x_{3} = (0,1) \end{array} \]
a) Encontre os preços de equilíbrio \((P_{1}^{*}, P_{2}^{*} \ e \ P_{3}^{*})\) sem restrição de venda a descoberto.

Note que o ativo 1, \(x_{1}\) é uma combinação linear dos ativos dois e três. Sendo \(x_{1} = x_{2} + x_{3}\). Portanto, \(x_{1}\) é um ativo redundante e com isso a matriz \(X \in \mathbb{R}^{2}\). Na ausência de venda a descoberto \(P_{1}^{*} = P_{2}^{*} + P_{3}^{*}\) e o ativo 1 é excluído do cálculo de equilíbrio.

O problema de escolha da carteira do consumidor típico é dado por:

\[ \begin{array}{rrl} \displaystyle\max_{c_1,h} \ \ U(c_1)^{s} \\ s.a \ \ ph \leq w_{0} \\ e \ \ c_{1} \leq w_{1} + Xh \\ para \ \ c_{1} \geq 0 \end{array} \]

O problema será resolvido por Karush-Khun-Tucker (KKT), o lagrangeano do problema acima será:

\[ \mathcal{L} = U^{s} (c_{1}) - \lambda [ph - w_{0}] - \mu [c_{1} - w_{1} - Xh] - \phi (-c_{1}) \]

Como a função utilidade dos agentes é estritamente crescente as condições de primeira ordem do problema estarão no limite das restrições, ou seja, as restrições são resolvidas com igualdade.

Lembre que como a utilidade é estritamente crescente, assim \(\phi = 0\) e toda derivada em \(c_1\) é igualada a zero.
\[ \begin{array}{rrl} \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial c_{1}} = \frac{\partial U^{s}}{\partial c_{1}} - \mu_{s} \leq 0\rightarrow \\ \rightarrow \frac{\partial U^{s}}{\partial c_{1}} = \mu_{s} \\ \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial h} = -\lambda p \leq - \mu_{s} X \rightarrow \\ \rightarrow \lambda p = \mu_{s} X \\ \lambda p = \frac{\partial U^{s}}{\partial c_{1}} X \end{array} \]
Então o preço de equilíbrio do ativo \(j\) será:

\[ \lambda p_{j} = \sum_{s = 1} ^ {S} x_{j,s} \frac{\partial U^{s}}{\partial c_{1}} \]

A equação acima resolve o problema genérico de escolha do agente, para a solução de uma utilidade tipo logarítmica similar ao do exercício, o resultado genérico excluindo consumo na data zero é como se segue.

\[ \lambda p_{j} = \sum_{s = 1} ^ {S} x_{j,s} \frac{a_{s}}{ c_{1,s}} \]

Como o preço do ativo 1 é obtido por uma combinação linear dos ativos 2 e 3, a solução do problema será encontrar os preços de \(P_{2}^{*}\) e \(P_{3}^{*}\).
\[ \left\{ \begin{array}{rcl} \lambda P_{2} = \frac{a_{1}^{i}}{w_{1,1}^{i} + x_{2,1}h_{2}^{i} + x_{3,1}h_{3}^{i}} x_{2,1} + \frac{a_{2}^{i}}{w_{1,2}^{i} + x_{2,2}h_{2}^{i} + x_{3,2}h_{3}^{i}} x_{2,2} \\ \lambda P_{3} = \frac{a_{1}^{i}}{w_{1,1}^{i} + x_{2,1}h_{2}^{i} + x_{3,1}h_{3}^{i}} x_{3,1} + \frac{a_{2}^{i}}{w_{1,2}^{i} + x_{2,2}h_{2}^{i} + x_{3,2}h_{3}^{i}} x_{3,2} \end{array} \right. \]

Assumindo \(\lambda = 1\), \(h_2\) e \(h_3\) serão:

\[ \left\{ \begin{array}{rcl} P_{2}^{1} = 1 * \frac{1}{2} * \frac{1}{3 + 1h_{2}^{1} + 0h_{3}^{1}} + 0 * \frac{1}{2} * \frac{1}{0 + 0h_{2}^{1} + 1h_{3}^{1}} \rightarrow \\ \rightarrow P_{2}^{1} = \frac{1}{6 + 2h_{2}^{1}} \\ P_{2}^{2} = 1 * \frac{1}{2} * \frac{1}{0 + 1h_{2}^{2} + 0h_{3}^{2}} + 0 * \frac{1}{2} * \frac{1}{3 + 0h_{2}^{1} + 1h_{3}^{1}} \rightarrow \\ \rightarrow P_{2}^{2} = \frac{1}{2h_{2}^{2}} \\ \end{array} \right. \]

Assim \(h_{2}^{1} = - \frac{3}{2}\) e \(h_{2}^{2} = \frac{3}{2}\).

\[ \left\{ \begin{array}{rcl} P_{3}^{1} = 0 * \frac{1}{2} * \frac{1}{3 + 1h_{2}^{1} + 0h_{3}^{1}} + 1 * \frac{1}{2} * \frac{1}{0 + 0h_{2}^{1} + 1h_{3}^{1}} \rightarrow \\ \rightarrow P_{3}^{1} = \frac{1}{2h_{3}^{1}} \\ P_{3}^{2} = 0 * \frac{1}{2} * \frac{1}{0 + 1h_{2}^{2} + 0h_{3}^{2}} + 1 * \frac{1}{2} * \frac{1}{3 + 0h_{2}^{1} + 1h_{3}^{1}} \rightarrow \\ \rightarrow P_{3}^{2} = \frac{1}{6 + 2h_{3}^{2}} \\ \end{array} \right. \]

Assim \(h_{3}^{1} = \frac{3}{2}\) e \(h_{3}^{2} = - \frac{3}{2}\). Pode-se observar que o agente 2 é o inverso do agente 1, essa observação será utilizada no item (c) dessa questão. Substituindo os valores de \(h\) nas equações de preço mostradas acima, têm-se o seguinte resultado. \(p_{2}^{*} = \frac{1}{3}\) e \(p_{3}^{*} = \frac{1}{3}\).

Como \(x_{1}\) é uma combinação linear de \(x_{2}\) e \(x_{3}\), \(p_{1}^{*} = p_{2}^{*} + p_{3}^{*}\).

\[ p_{1}^{*} = \frac{1}{3} + \frac{1}{3} \rightarrow p_{1}^{*} = \frac{2}{3} \]

O mesmo consumo livre de risco \((\frac{3}{2}, \frac{3}{2})\) para os dois agentes.

b)Encontre os preços de equilíbrio \((P_{1}^{*}, P_{2}^{*} \ e \ P_{3}^{*})\) com restrição de venda a descoberto, \(h_{j} \leq - 1\).

Suponha agora que os dois agentes possuam restrição de venda a descoberto em no mínimo um ativo, e com isso \(h_{j} \geq -1\), para cada \(j\). O portfólio \((0, - \frac{3}{2}, \frac{3}{2})\) e \((0, \frac{3}{2}, - \frac{3}{2})\) não é mais factível. Conjecture que o novo portfólio será: \((0, -1, 1)\) e \((0,1,-1)\) para o agente 1 e 2 respectivamente. Suponha ainda que o plano de consumo do agente 1 é \((2,1)\) e para o agente 2 é \((1,2)\), suponha também que \(\lambda = 1\).

O problema de escolha da carteira do consumidor típico é dado por:
\[ \begin{array}{rrl} \displaystyle\max_{c_1,h} \ \ U(c_1)^{s} \\ s.a \ \ ph \leq w_{0} \\ \ \ c_{1} \leq w_{1} + Xh \\ \ \ h_{j} \geq - b_{j} \\ para \ \ c_{1} \geq 0 \end{array} \]
O problema será resolvido por Karush-Khun-Tucker (KKT), o lagrangeando do problema acima será:

\[ \mathcal{L} = U^{s} (c_{1}) - \lambda [ph - w_{0}] - \mu [c_{1} - w_{1} - Xh] - \tau (-b_{j} - h_{j}) - \phi (-c_{1}) \]

Como a função utilidade dos agentes é estritamente crescente as condições de primeira ordem do problema estarão no limite das restrições, ou seja, as restrições são resolvidas com igualdade.

Lembre que como a utilidade é estritamente crescente, assim \(\phi = 0\) e toda derivada em \(c_1\) é igualada a zero.
\[ \begin{array}{rrl} \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial c_{1}} = \frac{\partial U^{s}}{\partial c_{1}} - \mu_{s} \leq 0\rightarrow \\ \rightarrow \frac{\partial U^{s}}{\partial c_{1}} = \mu_{s} \\ \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial h} = -\lambda p \leq - \mu_{s} X - \tau \rightarrow \\ \rightarrow \lambda p = \mu_{s} X + \tau \\ \lambda p = \frac{\partial U^{s}}{\partial c_{1}} X + \tau \end{array} \]
Então o preço de equilíbrio do ativo \(j\) será:

\[ \lambda p_{j} = \sum_{s = 1} ^ {S} x_{j,s} \frac{\partial U^{s}}{\partial c_{1}} + \tau_{j}, \forall j \in \tau_{0} \]

ou

\[ \lambda p_{j} \geq \sum_{s = 1} ^ {S} x_{j,s} \frac{\partial U^{s}}{\partial c_{1}}, \forall j \in \tau_{0} \]

As equações acima resolvem o problema genérico de restrição de venda a descoberto, para a solução de uma utilidade tipo logarítmica do exercício.

Os vetores de utilidades marginais para \(p_{1}\) serão:

\[ \left\{ \begin{array}{rcl} Umg{1,1}^{1} = \frac{1}{2} * \frac{1}{2 + 1*0 + 1*0} \rightarrow \\ \rightarrow Umg{1,1}^{1} = \frac{1}{4} \\ Umg{1,2}^{1} = \frac{1}{2} * \frac{1}{1 + 1*0 + 1*0} \rightarrow \\ \rightarrow Umg{1,2}^{1} = \frac{1}{2} \\ Umg{1,1}^{2} = \frac{1}{2} * \frac{1}{1 + 1*0 + 1*0} \rightarrow \\ \rightarrow Umg{1,1}^{1} = \frac{1}{2} \\ Umg{1,2}^{2} = \frac{1}{2} * \frac{1}{2 + 1*0 + 1*0} \rightarrow \\ \rightarrow Umg{1,2}^{1} = \frac{1}{4} \\ \end{array} \right. \]

Os vetores utilidades \((\frac{1}{4}, \frac{1}{2})\) para o agente 1 e \((\frac{1}{2}, \frac{1}{4})\) para o agente 2.

\[ \left\{ \begin{array}{rcl} p_{1}^{1} = \frac{1}{4} * 1 + \frac{1}{2} * 1 \rightarrow \\ \rightarrow p_{1}^{1} = \frac{3}{4} \\ p_{1}^{2} = \frac{1}{2} * 1 + \frac{1}{4} * 1 \rightarrow \\ \rightarrow p_{1}^{2} = \frac{3}{4} \end{array} \right. \]

O preço de \(p_{1}^{*} = \frac{3}{4}\), para \((P_{2}^{*}, P_{3}^{*})\) teremos:

\[ \left\{ \begin{array}{rcl} P_{2}^{1} \geq 1 * \frac{1}{2} * \frac{1}{2 + 1*(-1) + 0*(1)} \rightarrow \\ \rightarrow P_{2}^{1} \geq \frac{1}{2} \\ P_{2}^{2} \geq 1 * \frac{1}{2} * \frac{1}{1 + 1*(1)} \rightarrow \\ \rightarrow P_{2}^{2} \geq \frac{1}{4} \\ \end{array} \right. \]

Com isso \(p_{2}^{*} = \frac{1}{2}\) e \(p_{3}^{*} = \frac{1}{2}\).

\[ \left\{ \begin{array}{rcl} P_{3}^{1} \geq 1 * \frac{1}{2} * \frac{1}{1 + 0*(-1) + 1*(1)} \rightarrow \\ \rightarrow P_{3}^{1} \geq \frac{1}{4} \\ P_{3}^{2} \geq 1 * \frac{1}{2} * \frac{1}{2 + 0(1) + 1*(-1)} \rightarrow \\ \rightarrow P_{3}^{2} \geq \frac{1}{2} \\ \end{array} \right. \]

Podemos observar que \(p_{1}^{*} = \frac{3}{4} \neq p_{2}^{*} = \frac{1}{2} + p_{3}^{*} = \frac{1}{2}\) e com isso a lei do preço único não é válida. Isso ocorre devido a penalização exposta por \( \tau \) no modelo genérico de equilíbrio.

c) Encontre o funcional de apreçamento para o item (b), no qual exista restrição de venda a descoberto.

O funcional de apreçamento para o problema de restrição de venda a descoberto é \( \tilde{q}(z)\equiv \displaystyle\min_{h} \{ph : Xh = z, h_{j} \geq -b_{j}, \forall j \in \tau_{0}\}\).

Assim \( \tilde{q} : \tilde{\mathcal{M}} \rightarrow \mathbb{R}\).

Utilizando os parâmetros da letra (b), o funcional de apreçamento com restrição de venda a descoberto \( h_{j} \geq -1 \) é o seguinte:
\[ \begin{array} \tilde{q}(z_{1}, z_{2}) = \displaystyle\min_{h} \{\frac{3}{4}h_{1} + \frac{1}{2}h_{2} + \frac{1}{2}h_{3}\} \\ s.a \ \ h_{1} + h_{2} = z_{1} \\ h_{1} + h_{3} = z_{2} \\ para \ \ h_{1}, h_{2}, h_{3} \geq -1 \end{array} \]
Usando a primeira e a segunda restrição pra eliminar \(h_{2}\) e \(h_{3}\), isso fará com que todas expressões fiquem em função de \(h_{1}\).

Assim \(h_{2} = z_{1} - h_{1}\) e \(h_{3} = z_{2} - h_{1}\).
\[ \begin{array} \tilde{q}(z_{1}, z_{2}) = \displaystyle\min_{h} \{\frac{3}{4}h_{1} + \frac{1}{2}(z_{1} - h_{1}) + \frac{1}{2}(z_{2} - h_{1})\} \end{array} \]
Simplificando a expressão acima, temos:
\[ \begin{array} \tilde{q}(z_{1}, z_{2}) = \displaystyle\min_{h} \{\frac{1}{2}z_{1} + \frac{1}{2}z_{2} - \frac{1}{4}h_{1}\} \end{array} \]
Se \(z_{1} \geq z_{2}\) então \(h_{3} = - 1\), se \(z_{1} < z_{2}\) então \(h_{2} = - 1\).

Com isso o funcional de apreçamento será:
\[ \begin{array} \tilde{q}(z_{1}, z_{2}) = \frac{1}{2}z_{1} + \frac{1}{2}z_{2} - \frac{1}{4}min\{z_{1}, z_{2}\} - \frac{1}{4} \end{array} \]
Como o funcional de apreçamento acima é não linear a lei do preço único não é válida. O resultado é o mesmo da letra (b), porém abordado a questão do funcional de apreçamento.

comentou Nov 29, 2016 por monique de abreu (76 pontos)  
editado Nov 30, 2016 por monique de abreu
O problema da escolha dos agentes, sem consumo  na data '0' e com restrição de venda a descoberto, está correto. Além disso, cada passo foi explicado didaticamente, com a formatação impecável o que facilitou a correção.

Em complemento, vale registrar que o exercício em tela considerou, como premissa, que o  somatório dos 'h'  foi igual a zero, por isso a posição do agente 2 é o inverso da posição apresentada pelo agente 1.
comentou Nov 30, 2016 por João Gabriel Souza (76 pontos)  
Bem lembrado Monique. A condição de Market Clearing é utilizada para determinar os pesos das carteiras do agentes 1 e  2.
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