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Qual é o Teorema de Diversificação de Samuelson?

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perguntada Nov 19, 2016 em Finanças por João Gabriel Souza (76 pontos)  

Teorema de Diversificação de Samuelson:
Seja \(Var(R_{y}) > 0\) e \(R_{y}\) e \(R_{x}\) variáveis aleatórias independentes. Se \(E[R_{x}] > E[R_{y}]\), independentemente do valor de \(Var[R_{x}] > 0 \), todos investidores desejarão investir pelo menos uma quantidade em \(x\).
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1 Resposta

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respondida Nov 19, 2016 por João Gabriel Souza (76 pontos)  
editado Nov 26, 2016 por João Gabriel Souza

Seja o retorno de uma carteira composta por dois ativos \(x\) e \(y\) igual a :

\[ R_{c} = \alpha R_{x} + (1 - \alpha) R_{y}. \]

O retorno esperado da carteira \(c\) é:

\[ E[R_{c}] = E\left[ \alpha R_{x} + (1 - \alpha) R_{y}\right]. \]

Pelas propriedades da esperança, propriedade da soma de esperanças e da multiplicação pela constante, temos.

\[ \begin{array}{rrl} \ E[R_{c}] = E\left[ \alpha R_{x} \right] + E\left[(1 - \alpha) R_{y}\right] \Rightarrow \\ \Rightarrow E[R_{c}] = \alpha E\left[R_{x} \right] + (1 - \alpha) E\left[R_{y}\right] \end{array} \]

O retorno esperado da carteira \( E[R_{c}] = \alpha E\left[R_{x} \right] + (1 - \alpha) E\left[R_{y}\right] \) é uma combinação entre os retorno esperados dos ativos \(x\) e \(y\).

fazendo:
\[ \begin{array}{rrl} E[R_{c}] = \overline{R_{c}} \\ E[R_{x}] = \overline{R_{x}} \\ E[R_{y}] = \overline{R_{y}} \end{array} \]

Temos a seguinte representação para o retorno:

\[ \overline{R_{c}} = \alpha \overline{R_{x}} + (1 - \alpha) \overline{R_{y}}. \]

Sabemos pelo exercício que \(\overline{R_{c}} = \alpha \overline{R_{x}} + (1 - \alpha) \overline{R_{y}} > \alpha \overline{R_{y}} + (1 - \alpha) \overline{R_{y}} \), dado que \( \overline{R_{x}} > \overline{R_{y}} \).

Esse resultado mostra que valerá apena investir em \(x\), a não ser que o risco associado a essa carteira esteja em \( \alpha = 0\) e seja o menor risco. Pois, neste caso poderá existir investidores mais avessos ao risco que preferirão investir somente em \(y\).

Para verificar isto, desejamos encontrar o valor \(\alpha\) que minimiza a variância do retorno da carteira \(R_{c}\).

\[ \begin{array}{rrl} \ Var[R_{c}] = Var\left[ \alpha R_{x} + (1 - \alpha) R_{y}\right] \Rightarrow \\ \Rightarrow Var[R_{c}] = \alpha^{2} Var\left[R_{x} \right] + (1 - \alpha)^{2} Var\left[R_{y}\right] + 2\alpha (1-\alpha)Cov[R_{x}, R_{y}] \end{array} \]

Como \( Cov[R_{x}, R_{y}] = 0 \), pois a variáveis aleatórias são independentes. Então a função de minimização em \( \alpha \) será:

\[ \begin{array}{rrl} \displaystyle\min_{\alpha} \ \ Var[R_{c}] = \alpha^{2} Var\left[R_{x} \right] + (1 - \alpha)^{2} Var\left[R_{y}\right] \end{array} \]

O objetivo é encontrar o \(\alpha\) que servirá para se obter a variância mínima da carteira. Portanto,

\[ \begin{array}{rrl} \frac{\partial Var[R_{c}]}{\partial \alpha} = 2\alpha Var[R_{x}] + 2(1 - \alpha)(-1) Var[R_{y}] = 0 \Rightarrow \\ \Rightarrow 2\alpha Var[R_{x}] + 2(1 - \alpha) (-1)Var[R_{y}] = 0 \Rightarrow \\ \Rightarrow 2\alpha Var[R_{x}] = 2(1 - \alpha) Var[R_{y}] \Rightarrow \\ \Rightarrow \alpha Var[R_{x}] = Var[R_{y}] - \alpha Var[R_{y}] \Rightarrow \\ \Rightarrow \alpha Var[R_{x}] + \alpha Var[R_{y}] = Var[R_{y}] \Rightarrow \\ \Rightarrow \alpha\left( Var[R_{x}] +Var[R_{y}]\right) = Var[R_{y}] \Rightarrow \\ \Rightarrow \alpha 1 = \frac{Var[R_{y}]}{Var[R_{x}] + Var[R_{y}]} \Rightarrow \\ \alpha = \frac{Var[R_{y}]}{Var[R_{x}] + Var[R_{y}]} > 0 \end{array} \]

Logo, \( \alpha^{*} = \frac{Var[R_{y}]}{Var[R_{x}] + Var[R_{y}]} > 0 \). Então, se \(\overline{R_{x}} > \overline{R_{y}}\), independentemente do valor de \(Var[R_{x}] > 0\), todos os investidores desejarão investir uma quantidade em \(x\).

comentou Nov 29, 2016 por santiago (131 pontos)  
editado Dez 7, 2016 por santiago
Resposta muito bem explicada!
O que o teorema está dizendo é que não se deve colocar todos os ovos em uma única cesta.
Uma observação sobre o resultado é que alfa* é menor a um; ou seja, é estritamente entre zero e um. Uma outra observação sobre a demonstração é que o efeito favorável na diversificação da carteira é melhorada se Rx e Ry fossem negativamente correlacionadas.
Em geral, a presença de mais ativos numa carteira gera um maior beneficio na diversificação. Por exemplo, se consideramos uma carteira de n ativos não correlacionados e com a mesma variância, então a mínima variância consegue-se quando todos os ativos que conformam a carteira estão presentes na mesma proporção. Neste caso,
Var(Rx1/n + Rx2/n + ...+ Rxn/n) = n Var(Rx1)/n² = Var(Rx1)/n,
a variância se reduz a medida que incrementamos o número de ativos n.
É importante observar que incrementar o tamanho da carteira não significa diversificação, já que no caso anterior, se adicionamos uma unidade de cada ativo – em lugar de 1/n –
Var(Rx1 + Rx2 + ...+ Rx)= nVar(Rx1),
a variância cresce junto com n.
O conceito pode ser colocado em prática nas companhias de seguro. Adicionar seguros não correlacionados, à carteira não representa diversificação. A diversificação ocorre quando a companhia de seguro reparte o risco entre os diferentes sócios-proprietários da seguradora.
comentou Dez 8, 2016 por João Gabriel Souza (76 pontos)  
Santigo, interessantes observações sobre o exercício. Obrigado!
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