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Exercício sobre Kernel de Valor Esperado e de Apreçamento.

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perguntada Nov 24, 2016 em Finanças por monique de abreu (76 pontos)  
editado Dez 11, 2016 por monique de abreu

Considere que:

1. A distribuição de probabilidades dos estados da natureza é dada por:
\[ π = (\frac{1}{3}, \frac{1}{3}, \frac{1}{3})\].

2. Sejam comercializados 2 ativos no mercado, com os seguintes payoffs
\(x_1=(1,1,0) \) e \(x_2=(0,1,1) \) e preços \(p_1=1\) e \(p_2=\frac{4}{3} \)

Observação: Considere que o produto interno a ser considerado é o produto interno do valor esperado.

Então:

(a) Caracterize o subsespaço gerado pelo payoff de todos os ativos.

(b) Ache o kernel associado ao valor esperado.

(c) O kernel associado ao funcional de apreçamento.

(d) Por fim, encontre o subespaço vetorial que é ortogonal a ambos vetores considerados nos itens (b) e (c).

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1 Resposta

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respondida Nov 25, 2016 por monique de abreu (76 pontos)  
editado Dez 12, 2016 por monique de abreu

a. O subespaço vetorial gerado pelo payoff dos ativos 1 e 2 considerados denomina-se Asset Span e pode ser compreendido como os payoffs geráveis \(M \in \mathbb{R}^S = \mathbb {R}^3\), uma vez que são levados em consideração três estados da economia. A solução geral analítica indicada abaixo mostra o subespaço vetorial para os payoffs dados dos ativos.

\[ M = \alpha_1 \left(\begin{array}{c} 1 \\ 1 \\ 0 \end{array}\right) + \alpha_2 \left(\begin{array}{c} 0 \\ 1 \\ 1 \end{array}\right) = \left(\begin{array}{c} \alpha_1 \\ \alpha_1 + \alpha_2 \\ \alpha_2 \end{array}\right) \]

b. O Kernel Esperado de cada ativo, representado por \(K_e\), é dado pelos payoffs ponderados pela probabilidade dos estados, como apresenta a seguinte fórmula:

\[ K_e = h_1 . x_1 + h_2 . x_2 + h_3 . x_3 \]

Onde:
\(h\): probabilidades dos estados
\(x_1\): payoff do ativo 1
\(x_2\): payoff do ativo 2
\(x_3\): payoff do ativo 2

Na sequência, substituímos as variáveis da fórmula acima pelos valores assumidos para as probabilidades de estados e payoffs de cada ativo. Assim, temos os seguintes resultados para os Kernels do valor esperado do ativo 1, \(E(K_e x_1)\), e do ativo 2, \(E(K_e x_2)\), respectivamente:

\[ E(K_e x_1) = \frac{1}{3} . 1 + \frac{1}{3} . 1 + \frac{1}{3} . 0 = \frac{2}{3} \]
\[ E(K_e x_2)=\frac{1}{3} . 0 + \frac{1}{3} . 1 + \frac{1}{3} . 1 = \frac{2}{3} \]

Para encontrar o Kernel do valor esperado do ativo 3 , \(E(K_e x_3)\), é necessário encontrar os valores de \(α_1\) e \(α_1\), componentes do subespaço vetorial gerado pelos payoff dos ativos, apresentados no item (a). Eles podem ser encontrados por intermédio das fórmulas Kernels do valor esperado do ativo 1, \(E(K_e x_1)\), e do ativo 2, \(E(K_e x_2)\), formando um sistema com duas equações e duas incógnitas. Veja o desenvolvimento abaixo:

Kernel do valor esperado para o ativo 1
\[ E(K_e x_1) = Σ π . k_e . x_1 \]
\[ \frac{2}{3}=\frac{1}{3} . α_1 . 1 + \frac{1}{3} . (α_1+ α_2) . 1 + \frac{1}{3} . α_2 . 0 \]
\[ α_2 = 2 – 2 α_1 \]

Kernel do valor esperado para o ativo 2
\[ E(K_e x_2) = Σ π . k_e . x_2 \]
\[ \frac{2}{3}=\frac{1}{3} . α_1 . 0 + \frac{1}{3} . (α_1+ α_2) . 1 +\frac{1}{3} . α_2 . 1 \]
\[ α_1 = 2 – 2α_2 \]

Sistema com 2 equações e 2 incógnitas

Equação I: \(α_2 = 2 – 2 α_1\)
Equação II: \(α_1 = 2 – 2α_2\)

Substituindo \(α_1\) em \(α_2\):

\[ α_2 = 2 – 2 . α_1 \]
\[ α_2 = 2 – 2 . (2 – 2 α_2) \]
\[ α_2 = \frac{2}{3} \]

Substituindo \(α_2\) em \(α_1\):

\[ α_1 = 2 – 2α_2 \]
\[ α_1 =\frac{2}{3} \]

Logo, trazendo à tona a solução analítica do item (a) para \(M \in \mathbb{R}^S = \mathbb{R}^3\) e substituindo as variáveis \(α_1\) e \(α_1\) pelos valores encontrados acima:
\[ K_e = (K_e x_1, K_e x_2, K_e x_3) \]
\[ K_e = (α_1, α_1 + α_2, α_2) \]
\[ K_e = (\frac{2}{3},\frac{4}{3},\frac{2}{3}) \]

c. Para determinar Kernel de apreçamento, \(K_q\), associado ao funcional de apreçamento \(q\), é importante lembrar, antes, que ele é o único payoff em \(M\) que satisfaz:
\[ q(z) = E(K_q z), Ɐ z\in M \]

O cálculo do Kernel de apreçamento de um ativo \(i\) é dado pelo vetor de preços de estados ponderado pelas probabilidades de cada estado, conforme a seguinte fórmula:
\[ E(K_q x_i) = Σ π_i . K_q . x_i \]
E, além disso,
\[ E(K_q x_i) = P_i \]

Portanto, o Kernel de apreçamento do ativo 1 , \(E(K_q x_1)\), e do ativo 2, \(E(K_q x_2)\), são determinados a seguir:

Kernel de apreçamento do ativo 1
\[ E(K_q x_1) = Σ π_1 . K_q . x_1 \]
\[ E(K_q x_1) = P_1 \]
\[ \frac{1}{3} . α_1 . 1 + \frac{1}{3} . (α_1+ α_2) . 1 + \frac{1}{3} . α_2 . 0 = 1 \]
\[ α_2 = 3 – 2α_1 \]

Kernel de apreçamento do ativo 2
\[ E(K_q x_2) = Σ π_2 . k_q . x_2 \]
\[ E(K_q x_2) = P_2 \]
\[ \frac{1}{3} . α_1 . 0 + \frac{1}{3} . (α_1+ α_2) . 1 + \frac{1}{3} . α_2 . 1 = \frac{4}{3} \]
\[ α_1 = 4 – 2α_2 \]

Novamente, temos um sistema com 2 equações e 2 incógnitas cuja solução é necessária para estimar o Kernel de apreçamento do ativo 3, \(E(K_q x_3)\):

Sistema

Equação I: \(α_2 = 3 – 2α_1\)
Equação II: \(α_1 = 4 – 2α_2\)

Assim, substituindo \(α_1\) em \(α_2\):

\[ α_2 = 3 – 2α_1 \]
\[ α_2 = 3 – 2 . (4 – 2α_2) \]
\[ α_2 = \frac{5}{3} \]

Substituindo \(α_1\) em \(α_2\):

\[ α_1 = 4 – 2α_2 \]
\[ α_1 = 4 – 2 . \frac{5}{3} \]
\[ α_1 = \frac{2}{3} \]

Assim como feito para o Kernel de valor esperado, trazemos à tona a solução analítica do item (a) para \(M \in \mathbb{R}^S = \mathbb{R}^3\) e substituímos as variáveis \(α_1\) e \(α_1\) pelos valores destas encontrados acima. Note que os valores de \(α_1\) e \(α_1\) são diferentes daqueles encontrados para o Kernels de valor esperado.
\[ K_q = (K_q x_1, K_q x_2, K_q x_3) \]
\[ K_q = (α_1, α_1 + α_2, α_2) \]
\[ α_1 + α_2 = \frac{5}{3} + \frac{2}{3} = \frac{7}{3} \]
Logo,
\[ K_q = (\frac{2}{3},\frac{7}{3},\frac{5}{3}) \]

d. O subespaço vetorial ortogonal aos vetores encontrados nos itens b. e c. é dado por:

\[ ε \ \ ortogonal = F \]
Considerando que:
\[ x ̝ y ↔ < x,y > = 0 \]

Então temos um Sistema:

Equação I: \(x_1 . E(K_e x_1) + x_2 . E(K_e x_2) + x3 . E(K_e x_3) = 0\)
Equação II: \(x_1 . E(K_q x_1) + x_2 . E(K_q x_2) + x3 . E(K_q x_3) = 0\)

Substituindo os valore encontrados no Sistema:

Equação I: \(x_1 . \frac{2}{3} + x_2 . \frac{4}{3} + x3 . \frac{2}{3} = 0\)
Equação II: \(x_1 . \frac{2}{3} + x_2 . \frac{7}{3} + x3 . \frac{5}{3} = 0\)

Simplificando as equações \(I\) e \(II\) do Sistema:

Equação I: \(2 x_1 + 4 x_2 + 2 x_3 = 0\)
Equação II: \(2 x_1 + 7 x_2 + 5 x_3 = 0\)

Diminuindo a Equação \(II\) pela Equação \(I\), temos a Equação \(III\):
\[ 3x_2 + 3 x_3 = 0 \]
\[ x_2 = - x_3 \]

Na Equação \(I\), já simplificada, podemos simplifica-la ainda mais, dividindo os termos por 2, e ainda, substituir \(x_3\) por \(- x_2\):

\[ x_1 + 2 . x_2 + x_3 = 0 \]
\[ x_1 + 2 . x_2 - x_2 = 0 \]
\[ x_1 + x_2 = 0 \]
\[ x_1 = - x_2 \]

Na Equação \(III\) , podemos substituir \(x_2\) por \(-x_1\):
\[ x_2 = -x_3 \]
\[ -x_1 = - x_3 \]
\[ x_1 = x_3 \]

Em posse dessas informações, é possível construir a solução geral do problema:

\[ \left(\begin{array}{c} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{array}\right) = \left(\begin{array}{c} x_1 \\ -x_1 \\ x_1 \end{array}\right) = x_1 \left(\begin{array}{c} 1 \\ -1 \\ 1 \end{array}\right) \]

Referência Bibliográfica

S. F. LeRoy, J. Werner e S. A. Ross Principles of Financial Economics. Cambridge University Press 2000.

comentou Nov 30, 2016 por João Gabriel Souza (76 pontos)  
editado Dez 8, 2016 por João Gabriel Souza
Resposta bastante clara e didática.  Exercício resolvido corretamente e bem formatado.

Faria uma sugestão de comentar no final do exercício que  como o subespaço gerado pelos ativos 1 e 2 é o \(\mathbb{R}^3\), que compreende os três estados gerados para cada ativo. Como são dois ativos, um dos três estados é a combinação linear de \(\alpha_1\) e \(\alpha_2\) (outros dois estados), conforme representado acima. Isso implica que o subespaço gerado pelo vetor ortogonal, letra (d), estará em \(\mathbb{R}^1\), como representado no exercício por \(x_1\).  Acho que facilitaria a interpretação do exercício.
comentou Dez 7, 2016 por monique de abreu (76 pontos)  
Com certeza! Valeu pela sugestão!
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