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Considere um mercado com dois ativos e três estados, cada um com probabilidade 1/3.

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perguntada Dez 1, 2016 em Finanças por Guilherme Paiva (6 pontos)  
republicada Dez 3, 2016 por Guilherme Paiva

Considere um mercado com dois ativos e três estados, cada
um com probabilidade 1/3. O preços dos ativos são dados por
\(P_1\) e \(P_2\) e a matriz de payoff dada por:
\begin{bmatrix} 1&0 \\ 0&1 \\ 0&1 \end{bmatrix}

Suponha que existam dois agentes com função de utilidade
esperada logaritmica e que ambas as funções não sejam afetadas
pelo consumo na data 0. Para introduzir heterogeneidade no
modelo, suponha também que o agente "A" apenas é afetado pelo
consumo nos estados 1 e 2 e o agente "B" é afetado pelo consumo
nos estados 1 e 3. A dotacão inicial de ambos agentes é nula na
data zero e na data 1 é descrita respectivamente pelos vetores
\(w_1 = (1; 1/3; 5)^\prime\) e \(w_2 = (1; 5; 1/3)^\prime\).

a) Suponha que p1 é dado por 1 e calcule \(p_2\).

b) Qual o preço de um payoff (2; 3; 3) no equilíbrio?

c) Calcule os valores possíveis para as probabilidades neutras ao
risco em equilíbrio.

d) Escreva o problema que você precisa resolver para encontrar os
limitantes superior e inferior para um direito contigente (1; 2; 3).

e) Resolva o problema apresentado no ítem (d).

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1 Resposta

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respondida Dez 3, 2016 por Guilherme Paiva (6 pontos)  
editado Dez 8, 2016 por Guilherme Paiva

Antes de começar a responder a pergunta, fica a seguinte sugestão de leitura para a melhor compreensão das técnicas utilizadas:

RESPOSTA:

Para encontrar o preço solicitado, vamos começar com a maximização da utilidade para ambos os agentes(utilizando uma técnica de substituição para facilitar), que como veremos, serão idênticas, e após isso faremos o procedimento do Market Clearing para encontrar os valores.
(I) As funções de utilidade são da seguinte forma:
\(U^{A} = lnc_1 + lnc_2\)
\( U^{B} = lnc_1 + lnc_3 \)
(II) Como ambas são estritamente crescentes em C>0, podemos afirmar que as restrições de consumo serão igualdades, e com isso:

\(c_0 = w_0 - ph\)

fica da seguinte forma:
\(0=0-ph\)
\(ph=0\)

E assim:

\(0 = h^{A}_1+ph^{A}_2 \)
(III) A maximização do agente A:
Restrições para \(c^{A}_1 e c^{A}_2\):
\(c^{A}_1 = 1+h^{A}_1\)
\(c^{A}_2 = 1/3+h^{A}_2\)

\(\mathcal{L}= lnc^{A}_1+ lnc^{A}_2 - \lambda_1( h^{A}_1 + p_2h^{A}_2) - \lambda_2(c^{A}_1 - 1 -h^{A}_1) - \lambda_3(c^{A}_2 - 1/3 - h^{A}_2)\)
Note que é possível substituir as restrições dentro do problema de maximização sem que ocorra perda de generalidade, com isso o novo problema ficaria assim:

\(\mathcal{L} = ln(1+h^{A}_1) + ln(1/3 -h^{A}_1)\)
O que torna o problema de maximização bem mais simples, dado que é apenas uma variável agora.

A condição de primeira ordem é:
\(\frac{\partial L }{\partial h^{A}_1 } = \frac{1}{1+h^{A}_1} - \frac{1}{p_2(1/3-h^{A}_1)}=0\)

E com isso:

\(h^{A}_1=\frac{p_2}{6}-1/2 \)

(IV) Realizando o mesmo procedimento para o agente B, chegaremos ao mesmo resultado:
\(h^{B}_1=\frac{p_2}{6}-1/2 \)

(V) Realizando agora o Market Clearing:

\(h^{A}_1+ h^{B}_1= 0 \)

\(\frac{p_2}{6}-1/2+\frac{p_2}{6}-1/2= 0 \)

\(\frac{p_2}{3}=1\)

\(p_2=3\)
Que é o resultado do item.

b) Note que o ativo de payoff (2,3,3)’ pode ser atingido através de uma combinação linear dos ativos 1 e 2 descritos no enunciado. Portanto, como vale a lei do preço único, podemos afirmar que:
\(p_3=2p_1+3p_2\)

\(p_3=2+9=11\)

Pois o terceiro ativo pode ser atingido com a carteira:
\(2h_1+3h_2\).

c) Inicialmente, para encontrar as probabilidades, vamos recorrer às seguintes fórmulas:
\(\pi*_s=q_s/\sum{q_s}\)

\(q’=p’X\)

Para resolver, utilizamos os vetor de preço e a matrix de payoffs para encontrar o valor do vetor q, que será \((1,q_2,3-q_2)\)’
Com isso, temos que
\(\sum{q_s}=1+q_2+3-q_2=4\)
\(\pi_1=1/4\)

\(\pi_2=\frac{q_2}{4}\)

\(\pi_3=\frac{3-q_2}{4}\)

E como, q' tem que ser positivo para ausência de arbitragem:

\(0\leq\pi_2\leq3/4\)

\(0\leq\pi_3\leq3/4\)

d) e e) Os dois últimos itens da questão serão feitos em conjunto, dado que trata-se da montagem do problema e da resolução do mesmo.
Inicialmente, para montar os limitantes superiores e inferiores de um direito contingente que não pertence ao espaço de ativos, existem vários caminhos possíveis. Aqui mostraremos um caso apenas, caso alguém se interesse por resolvê-lo de modo diferente, fica a sugestão.
\(q_u= min(ph ; Xh \geq z)\)
\(q_l=max(ph ; Xh \leq z)\)
A resolução:
\(q_u=10\)
\(q_l=7\)

comentou Dez 4, 2016 por Peng Yaohao (101 pontos)  
editado Dez 8, 2016 por Peng Yaohao
Boa resposta, Guilherme! Só acho que você poderia ter explorado mais o conceito de limitante superior e inferior para mercados incompletos, nos itens d) e e). A motivação de se considerar limitantes para o preço de estado reside no fato de eles possuírem solução não-única, o que advém justamente do fato de haver direitos contingentes que não podem ser apreçados exatamente pelo fato de o span dos ativos não abarcar todo o \(\mathbb{R}^S\).

Há três formas de achar os limitantes \(q_u\) e \(q_l\): pela definição que você aplicou -- como o sistema \(Xh=z\) não tem solução única, pega-se o menor das soluções "para cima" e o maior das soluções "para baixo"; os limitantes também podem ser encontrados resolvendo o sistema \(p^T=q^TX\) para os preços de estado \(q\) -- aqui o raciocínio é o contrário, em vez de fazer o **menor** intervalo em torno do qual está a solução para \(ph\), encontra se o **maior** intervalo possível factível para que a solução dos preços de estado, de modo que é certeza que \(qz\) esteja lá dentro. A terceira forma é fazer pela probabilidade neutra ao risco. o raciocínio é o mesmo da segunda abordagem, já que as probabilidades neutras ao risco são escritas em função dos preços de estado -- os quais novamente não são únicos, então encontra-se o maior intervalo possível de modo que é certeza que o preço do direito contingente esteja contido dentro desse intervalo.

Outra coisa: no item c) parece que você resolveu o sistema errado... Fazendo \(q'=p'X\) o produto dos vetores não fecha, pois são 2 ativos e 3 estados. O sistema teria que ser \(p'=q'X\), o que resulta em infinitas soluções para os preços de estado \(q\): \(q_1=1\) e \(q_2=3-q_3\). Assim, as probabilidades neutras ao risco não seriam únicas como você colocou na resposta, já que o mercado é incompleto nesse caso.
comentou Dez 8, 2016 por Guilherme Paiva (6 pontos)  
Peng, muito obrigado pela contribuição e pelas correções!

Foram corrigidas.
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