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O que é o C-CAPM e qual a sua relação com o CAPM?

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1 Resposta

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respondida Dez 4, 2016 por Peng Yaohao (101 pontos)  
editado Dez 10, 2016 por Peng Yaohao

O CAPM (Capital Asset Pricing Model) é um consagrado modelo que relaciona o retorno de um ativo com o prêmio pelo seu risco em relação ao retorno do portfólio de mercado. Por um lado, o CAPM é um modelo de equilíbrio geral que depende de apenas um fator; por outro lado, o CAPM não fornece imediatamente quais são os fatores que podem fazer com que o portfólio de mercado possa ser arriscado. Motivado por este fato, o C-CAPM (Consumption Based CAPM) é um caso mais geral do CAPM que apresenta um equilíbrio geral entre o consumo dos agentes de uma economia com suas decisões de investimento em ativos arriscados para formar uma carteira ótima.

Ilustrando um caso simples com dois períodos temporais: o C-CAPM assume que a economia é composta por agente homogêneos, com mesmas dotações iniciais e preferências, de modo que o problema da escolha da carteira ótima pode ser expressa como um problema de agente representativo:

\begin{eqnarray}
\max\limits_{\boldsymbol{h}}:&&v(c _ 0)+\mathbb{E}[\gamma v(\boldsymbol{c})]\\
Sujeito~a:&&{c} _ {0}=w _ 0-\boldsymbol{p}\cdot \boldsymbol{h}\\
&&\boldsymbol{c}=\boldsymbol{w}+\boldsymbol{X}\cdot \boldsymbol{h}
\end{eqnarray}

Onde \(v(.)\) é a função de utilidade de von Neumann-Morgenstern temporalmente separável, \(w_0\) e \(\boldsymbol{w}\) são as dotações iniciais dos períodos \(t=0\) e \(t=1\), \(c_0\) e \(\boldsymbol{c}\) são os consumos dos períodos \(t=0\) e \(t=1\), \(\boldsymbol{p}\) é o vetor de preços dos ativos, \(\boldsymbol{h}\) é o vetor de proporções consumidas de cada ativo e \(\boldsymbol{X}\) é a matriz de payoffs. A função objetivo é a utilidade temporal esperada do agente representativo, e a igualdade das restrições advém da solução de ponto interior. A condição de primeira ordem do problema é:

\(-p_jv'(c_0)+\mathbb{E}[\gamma v'(c_1)x_j]=0,\quad j=1,2,...,J\)

Onde \(J\) é o número total de ativos disponíveis na economia. O primeiro termo da esquerda representa a utilidade perdida em \(t=0\) pelo consumo de uma unidade marginal de ativo financeiro, e o segundo termo da esquerda é a valor esperado da utilidade ganha em \(t=1\) oriunda do consumo dessa unidade marginal. A condição se aplica a todos os \(J\) ativos.

Usando a definição de retorno e usando \(\bar{r}=\displaystyle \frac{v'(c_0)}{\mathbb{E}[\gamma v'(\boldsymbol{c})]}\), constata-se que:

\(\mathbb{E}\left[(r_j-\bar{r})\displaystyle \frac{v'(\boldsymbol{c})}{v'(c_0)}\right]=0\)

Mais ainda, usando \(cov(x,y)=\mathbb{E}[xy]-\mathbb{E}[x]\mathbb{E}[y]\), obtém-se que:

\(\mathbb{E}[r_j]-\bar{r}=-\displaystyle \frac{cov\left(r_j,\displaystyle \frac{v'(\boldsymbol{c})}{v'(c_0)}\right)}{\mathbb{E}\left[\displaystyle \frac{v'(\boldsymbol{c})}{v'(c_0)}\right]}\)

A expressão acima fornece que o risco sistemático de um ativo depende da covariância do seu retorno com a taxa marginal de substituição temporal. O sinal da covariância é negativo, pois é de se esperar que a utilidade marginal \(v'(\boldsymbol{c})\) diminui quando \(r_j\) aumenta, de modo que o retorno do ativo será maior quanto maior for o consumo futuro \(\boldsymbol{c}\), donde \(\mathbb{E}[r_j]-\bar{r}\gt0\Leftrightarrow\mathbb{E}[r_j]\gt\bar{r}\). De forma análoga, quando o retorno do ativo é maior quando o consumo futuro \(\boldsymbol{c}\) for menor implica que \(\mathbb{E}[r_j]-\bar{r}\lt0\Leftrightarrow\mathbb{E}[r_j]\lt\bar{r}\).

Note que não há uma forma definida para a função de utilidade \(v(.)\): qualquer função de utilidade de von Neumann-Morgenstern pode ser utilizada. Assumindo que a utilidade do agente representativo averso ao risco assume genericamente uma função quadrática côncava \(v(c)=-(c-\alpha)^2,\forall\, c\lt\alpha\), onde \(\alpha\) representa um ponto de saturação a partir do qual ativos com maior nível de risco não fornecem mais retorno esperado, e consequentemente não serão levados em consideração pelo agente. Com essa configuração, o C-CAPM converge para o CAPM, bastando escrever o plano de consumo \(\boldsymbol{c}\) como uma combinação linear do retorno livre de risco e do retorno de mercado, \(\boldsymbol{c}=\beta_1\bar{r}+\beta_2r_m,\,\beta_1,\beta_2\in\mathbb{R}\). Dado que a derivada de uma função quadrática é uma função linear e que o retorno livre de risco \(\bar{r}\) é uma constante, a configuração supracitada fornece a expressão do CAPM:

\(\mathbb{E}[r_j]-\bar{r}=\displaystyle \frac{cov(r_j,r_m)}{var(r_m)}(\mathbb{E}[r_m]-\bar{r})\)

O C-CAPM também é um modelo com apenas um fator e representa um caso mais geral do CAPM, dado que \(v'(.)\) não precisa ser uma função quadrática -- assumindo uma função côncava genérica, o C-CAPM não irá convergir para o CAPM. As premissas que se assume para o C-CAPM implicam em algumas limitações: por exemplo, ao assumir que todos os agentes são idênticos, na economia modelada pelo C-CAPM não haverá empréstimos (trocas de ativos entre os agentes), pois se um agente é demandante de empréstimos, todos os agentes também serão, de modo que não haverá ofertantes de empréstimos. Um modelo que considera a existência de empréstimos teria que incorporar a figura do governo ou do setor externo (economias paralelas).

comentou Dez 9, 2016 por Guilherme Paiva (6 pontos)  
Peng, ótima resposta. Está bem didático.

*Há apenas um </p> solto no meio da resposta.

Fica então uma pequena contribuição para a parte da pergunta "O que é o C-CAPM":

Parte dos autores diz que o paper de Lucas (1978) teria sido o propulsor inicial do modelo. O objetivo dele ao analisar preços de ativos em uma economia de trocas, era de buscar entender a relação entre fatores exógenos e movimentos determinados pelo mercado em preços de ativos.
Basicamente o modelo do CCAPM pressupõe que, como as pessoas buscam investir para aumentar o consumo, acredita-se que exista uma relação entre retornos de ativos e consumo, como é possível inferir de Issler e Piqueira(2000).

Apesar de tecnicamente interessantes, algumas vezes o CAPM e o C-CAPM não são tão consistentes na prática. No entanto, possuem grande utilidade no sentido de auxiliar na compreensão dos movimentos de ativos.
comentou Dez 10, 2016 por danielcajueiro (5,186 pontos)  
O <p solto eh porque deve-se usar \lt ou gt e não os sinal de maior ou menor:
http://prorum.com/index.php/213/como-escrever-equacoes-matematicas-usar-latex-no-prorum-com?show=213#q213
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