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Você pode dar um exemplo em que a diversificação de uma carteira diminui a variância do retorno sem alterar seu valor esperado?

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perguntada Dez 6, 2016 em Finanças por Camila (31 pontos)  
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respondida Dez 6, 2016 por Camila (31 pontos)  

Claro. Considere um investidor que decide investir um montante fixo e precisa decidir como fará o investimento. Considere, ainda, que o mercado possui dois ativos \(X\) e \(Y\) com retornos independentes \(R_X\) e \(R_Y\), retornos esperados \(\bar{R}_X = \bar{R}_Y\) e variâncias \(var(R_X) = var(R_Y) > 0\). O investidor precisa escolher \((h_1,h_2)\), onde \((h_1)\) e \((h_2)\) são as quantidades de \(X\) e \(Y\), respectivamente. Considere a carteira \(Z=(\frac{1}{2},\frac{1}{2})\).

Sabemos que o retorno \(R\) de uma carteira é dado por \(R=\sum_ix_iR_i\), onde \(x_i\geq 0 \ \forall i\), \(\sum_ix_i=1\) e \(R_i\) é o retorno do ativo \(i\). Assim, se a carteira \(Z\) é tal que \(R_Z=\frac{1}{2}R_X+\frac{1}{2}R_Y\), então, o valor esperado de \(R_Z\) é dado por

\[E[R_Z]=\frac{1}{2}E[R_X]+\frac{1}{2}E[R_Y]=\frac{1}{2}\bar{R}_X+\frac{1}{2}\bar{R}_Y=\bar{R}_X=\bar{R}_Y,\]

e sua variância é

\[var(R_Z)=E[(R_Z)^2]-(E[R_Z])^2\]

\[=E[(\frac{1}{2}R_X+\frac{1}{2}R_Y)^2]-(\frac{1}{2}\bar{R}_X+\frac{1}{2}\bar{R}_Y)^2 \]

\[=E[\frac{1}{4}R_X^2+\frac{1}{4}R_Y^2+R_X+R_Y]-(\frac{1}{2}\bar{R}_X+\frac{1}{2}\bar{R}_Y)^2 \]

\[=\frac{1}{4}E[R_X^2]+\frac{1}{4}E[R_Y^2]+E[R_XR_Y]-\frac{1}{4}\bar{R}_X^2-\frac{1}{4}\bar{R}_Y^2-\bar{R}_X\bar{R}_Y,\]

onde \(E[R_XR_Y]=E[R_X]E[R_Y]=\bar{R}_X\bar{R}_Y\), pois \(R_X\) e \(R_Y\) são independentes. Assim,

\[var(R_Z)=\frac{1}{4}(E[R_X^2]-\bar{R}_X^2)+\frac{1}{4}(E[R_Y^2]-\bar{R}_Y^2)+\bar{R}_X\bar{R}_Y-\bar{R}_X\bar{R}_Y \]

\[=\frac{1}{4}var(R_X)+\frac{1}{4}var(R_Y) \]

\[=\frac{1}{2}var(R_X)=\frac{1}{2}var(R_Y).\]

Portanto, colocar a metade da riqueza em cada ativo gera o mesmo retorno esperado que investir em um único ativo, mas com metade da variância.

comentou Dez 6, 2016 por Mauro Patrão (71 pontos)  
Ficou ótimo, Camila!
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