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Qual é a relação entre o \(r\) e \( \overline{r} \) que seguem uma distribuição log-normal?

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perguntada Dez 6, 2016 em Finanças por João Gabriel Souza (76 pontos)  
editado Dez 9, 2016 por João Gabriel Souza

Suponha que se \( X = Mr_{j} \) é log-normal com média \( \mu \) e variância \( \sigma^{2}\) [Assume-se que o fator de desconto estocástico e o retorno sobre qualquer ativo são conjuntamente log-normal], use

\[ 1 = \mathbb{E}[Mr_{j}] \]

onde \( M = \frac{\gamma v^{´}(c_{1})}{v^{´}(c_{0})}\) é o fator estocástico, e encontre uma expressão que relacione \(\mathbb{E}[log (r_{j})]\) e \(\mathbb{E}[log (\overline{r}) ]\) em função da variância de \( log(r_{j})\) e da covariância entre \(log (M)\) e \(log(r_{j})\).

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1 Resposta

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respondida Dez 6, 2016 por João Gabriel Souza (76 pontos)  
editado Dez 12, 2016 por João Gabriel Souza

Suponha um problema de escolha intertemporal: o CCAPM assume que a economia é composta por agentes homogêneos, com mesmas dotações iniciais e preferências, de modo que o problema da escolha da carteira ótima pode ser expressa como um problema de um agente representativo:

\begin{eqnarray}
\max\limits_{\boldsymbol{h}}: v(c _ 0)+\mathbb{E}[\gamma v(c _ 1)]\\
Sujeito~a: {c} _ {0}=w _ 0-\boldsymbol{p}\cdot \boldsymbol{h}\\
c _ 1=\boldsymbol{w}+\boldsymbol{X}\cdot \boldsymbol{h}
\end{eqnarray}

Onde \(w_0\) e \(\boldsymbol{w}\) são as dotações iniciais dos períodos \(t_{0}\) e \(t_{1}\), \(v(.)\) é a função de utilidade de von Neumann-Morgenstern temporalmente separável, \(\boldsymbol{p}\) é o vetor de preços dos ativos, \(\boldsymbol{h}\) é o vetor de proporções consumidas de cada ativo, \(c_0\) e \(c_{1}\) são os consumos dos períodos \(t_{0}\) e \(t_{1}\) e \(\boldsymbol{X}\) é a matriz de payoffs. A função objetivo é a utilidade temporal esperada do agente representativo, e a igualdade das restrições advém da solução de ponto interior. A condição de primeira ordem (CPO) do problema é:

\[p_jv^{´}(c_0) = \mathbb{E}[\gamma v^{´}(c_1)x_j],\quad j=1,2, \dots ,J\]

Onde \(J\) é o número total de ativos disponíveis na economia. O termo da esquerda representa a utilidade perdida em \(t_{0}\) pelo consumo de uma unidade marginal de ativo financeiro, e o da direita é a valor esperado da utilidade ganha em \(t_{1}\) oriunda do consumo dessa unidade marginal. A condição se aplica a todos os \(J\) ativos.

Perceba que o lado esquerdo da equação representa a utilidade marginal do consumo no período \( 0\). Já o lado direito representa a utilidade esperada marginal de se investir no período \(1\). A (CPO) garante que o investidor irá igualar seu custo marginal via consumo na data zero com seu benefício marginal via investimento na data \(1\).

Dividindo a equação da (CPO) por \(p_j\), têm-se a equação em termos de retorno.
\[ v^{´}(c_0) = \mathbb{E}[\gamma v^{´}(c_1)r_j],\quad j=1,2, \dots ,J \]

A intuição é a mesma da equação anterior, porém expressa em retorno, já que \(r_{j} = \frac{x_j}{p_j}\).

Observa-se que ao dividir a (CPO) em termos de retorno, equação acima, por \(v^{´}(c_0)\), temos:

\[1 = \mathbb{E} \left[\gamma \frac{v ^{´} (c_{1})}{v ^{´}c_{0}} r_{j}\right]\]

Pela definição do exercício sabemos que o fator de desconto estocástico \( M = \gamma \frac{v ^{´} (c_{1})}{v ^{´}c_{0}} \) , então a equação acima pode ser igualada por \(\mathbb{E}[Mr_{j}]\).

\[1 = \mathbb{E} \left[\gamma \frac{v ^{´} (c_{1})}{v ^{´}c_{0}} r_{j}\right] = \mathbb{E}[Mr_{j}]\]

A existência de um fator de desconto estocástico positivo é garantida pela ausência de arbitragem em mercados onde os investidores podem transacionar livremente sem a penalização de custos de transação. Em mercados completos o fator de desconto estocástico é único, pois os investidores podem transacionar livremente com isso, eliminando qualquer variação idiossincrática das utilidades marginais.

Usando a definição de covariância que é igual a \(cov(x,y)=\mathbb{E}[xy]-\mathbb{E}[x]\mathbb{E}[y]\), temos:

\[ \mathbb{E}[Mr_{j}] = \mathbb{E}[M] \mathbb{E}[r_{j}] + cov(M,r_{j}) \]

Substituindo \( 1 = \mathbb{E}[Mr_{j}]\) e rearranjando os termos em função de \(\mathbb{E}[r_j]\) têm-se:

\[ \mathbb{E}[r_{j}] = \frac{1 - cov[M, r_{j}]}{\mathbb{E}[M]} \]

Qualquer ativo com retorno esperado alto deverá obter baixa covariância com o fator de desconto estocástico. Esse ativo tende a ter retornos baixos quando os investidores têm alta utilidade marginal no período \(1\). Observa-se que investidores demandam maior prêmio pelo risco
quando têm alta utilidade marginal no período \(0\).

A equação acima pode ser aplicada para qualquer ativo, incluindo o ativo livre de risco \(\overline{r}\). Sabe-se que por definição o ativo livre de risco possui covariância zero com o fator de desconto estocástico (para qualquer variável aleatório). Sendo assim a equação acima para o ativo livre de risco ficará:

\[ \overline{r} = \frac{1}{\mathbb{E}[M]} \]

Utilizando a expressão acima na equação que define a \(\mathbb{E} [r_{j}]\), têm-se a seguinte equação:

\[ \mathbb{E} [r_{j}] = (\overline{r}) (1 - cov[M, r_{j}]) \]

Como assumimos que a distribuição conjunta entre o retorno e o fator de desconto estocástico é uma log-normal, a seguinte propriedade do logaritmo da esperança é utilizada.

\[ log\mathbb{E}[X] = \mathbb{E} [log(X)] + \frac{1}{2}Var[log(X)] \]

Em que a \(Var [log(X)] = \mathbb{E} [(log (X) - \mathbb{E}[log(x)])^{2}]\). Se a distribuição \(X\) é condicionalmente homoscedástica, então: \(Var [log(X)] = \mathbb{E} [(log (X) - \mathbb{E}[log(x)])^{2}] = Var(log(X) - \mathbb{E} [log(X)])\). Aplicando as definições acima e o logaritmo na equação \( 1 = \mathbb{E}[Mr_{j}] \), temos:

\[ 0 = \mathbb{E} [log(r_{j})] + \mathbb{E} [log(M)] + \frac{1}{2} [\sigma^{2}_{log(r_{j})} + \sigma^2_{log(M)} + 2\sigma_{log(Mr_{j})}] \]

Note que \( \sigma^{2}_{log(r_{j})}\) representa a variância do log-retorno, \( \sigma^2_{log(M)}\) a variância do log do fator estocástico e \(\sigma_{log(Mr_{j})}\) é covariância do log do fator estocástico e do log-retorno.

Para o ativo livre de risco com retorno \(log(\overline{r})\), assumindo-se sem perda de generalidade que sua variância seja \(\sigma^2_{log(\overline{r})}\) e sua covariância com o fator de desconto estocástico seja \(\sigma_{log(\overline{r}M)}\). Como o retorno do ativo livre de risco \(log(\overline{r})\) é uma constante, \(Var[log(\overline{r})]=0\) e \(cov[log(\overline{r},M)] = 0\), então tem-se que:

\[ log(\overline{r})=-\mathbb{E}[log(M)]-\frac{\sigma^2_{log(M)}}{2} \]

A equação acima é uma representação da equação de \(\overline{r}\), porém para \(log(\overline{r})\).
Diminuindo a equação de \(log(\overline{r})\) da equação de \(\mathbb{E}[log(r_j)]\) obtém-se a expressão do log retorno em excesso do ativo arriscado em relação ao ativo livre de risco, a saber:

\[ \mathbb{E}[log(r_{j})-log(\overline{r})] = - \frac{\sigma^2_{log(r_j)}}{2} - \sigma_{log(Mr_{j})} \]

O termo de variância \(\sigma^2_{log(r_j)}\) advém do ajuste da desigualdade de Jensen, do fato de estarmos descrevendo log-retornos. De fato, esse termo converte a esperança do excesso de retorno de uma média geométrica para uma média aritmética. O termo restante do lado direito, \( \sigma_{log(Mr_{j})}\), representa a covariância do retorno do ativo com o fator de desconto estocástico em log. A equação demonstra que o prêmio pelo risco é determinado pela relação negativa entre o fator de desconto estocástico com o retorno do ativo, menos um termo inerente a log-normalidade das distribuições, que advém do ajuste da desigualdade de Jensen.

comentou Dez 9, 2016 por Guilherme Paiva (6 pontos)  
João Gabriel, a resposta está ótima. Com um nível de detalhamento excelente e com o resultado correto.

No entanto, há uma passagem que não ficou clara (mas que não compromete o resultado final):
Logo após o parágrafo em que você mostra a propriedade da distrubuição lognormal, aparece:
(...)
\(Var [log(X)] =  \mathbb{E} [(log (X)] + \frac{1}{2} Var[ log(X)]\)
(...)
Nesse parágrafo não consegui entender exatamente a utilidade dessa equação (assim como da seguinte no mesmo parágrafo, que utiliza também essa equação), nem se ela está correta. Talvez tenha ocorrido algum erro de digitação. Acredito é interessante inserir uma propriedade nessa parte que ajudaria na explicação:

1) \(Var(X+Y)=Var(X)+Var(Y)+2Cov(X,Y)\)

**Apesar disso, o resultado está perfeitamente compreensível.**
comentou Dez 12, 2016 por João Gabriel Souza (76 pontos)  
Guilherme, ótima observação. A equação estava com problema de digitação, já foi alterada.
Obrigado pela dica!
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