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[CCAPM]Qual a relação entre \(\overline{r}\) e a esperança e variância do consumo e o coeficiente de aversão ao risco de uma função utilidade CRRA?

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perguntada Dez 8, 2016 em Finanças por Guilherme Paiva (6 pontos)  
editado Dez 8, 2016 por Guilherme Paiva

Suponha que \(X = [Mr_j]\) é lognormal com média μ e
variância \(\sigma^2\) [Estamos assumindo que o fator de desconto
estocástico e o retorno sobre de qualquer ativo são conjuntamente
lognormal], use:
\(1=E[Mr]\)
Onde \(M=\frac{\gamma u'(c_1)}{u'(c_0)}\) é o fator de desconto estocástico.
Suponha também que \(u(x)=\frac{x^{1-\gamma}}{1-\gamma}\) é uma hipótese sobre a distribuição de X=Mr. encontre uma expressão para o retorno de \(\overline{r}\) em função de \(\gamma\) e do valor esperado e da variância de \(ln(\frac{c_1}{c_0})\). Interprete intuitivamente o resultado.

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1 Resposta

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respondida Dez 8, 2016 por Guilherme Paiva (6 pontos)  
editado Dez 8, 2016 por Guilherme Paiva

A resolução desse exercício será feita em 3 partes,

  1. Mostrar o desenvolvimento da equação que relaciona \(ln(\overline{r})\) a esperança de \(ln(M)\) e a variância de \(ln(M)\).
  2. Mostrar a transformação dessa equação com a aplicação da função utilidade "CRRA"
  3. Interpretação intuitiva da equação encontrada.

PARTE 1

Utilizando a propriedade de variáveis aleatórias de distribuição lognormal:
\(lnE_t(X)=E_t(lnX)+\frac{1}{2}[\sigma^2_{t,lnx}]\)

e a propriedade de variâncias:
\(\sigma^2(A+B)=\sigma^2(A)+\sigma^2(B)+2\sigma(A,B)\)

aplicando logarítmo em \(1=E(Mr)\) e utilizando as propriedades acima temos que:
\(0=lnE(Mr)\)

E com isso, temos:
\(0=E(lnr)+E(lnM)+\frac{1}{2}[\sigma^2_{lnr} + \sigma^2_{lnM} + 2\sigma(lnr,lnM)]\)

Aplicando a equação acima a um ativo livre de risco, que possui variância 0 e não é correlacionado por definição à M. encontramos a seguinte equação:

\(0=E(ln\overline{r})+E(lnM)+\frac{\sigma^2_{lnM}}{2}\)

e então, temos a equação que procurávamos:
\(E(ln\overline{r})=-E(lnM)-\frac{\sigma^2_{lnM}}{2}\).

PARTE 2

A utilidade do exercício apresenta algumas características importantes, que foram utilizadas em alguns papers clássicos como Mehra e Prescott(1985), conhecida como “Utilidade de coeficiente de aversão ao risco constante”. Ela traz consigo uma primeira dica da resolução do exercício em sua derivada:

\(u'(c)= c^{-\gamma}\)

Utilizando essa derivada dentro de \(M=\frac{\gamma u'(c_1)}{u'(c_0)}\) encontramos que:
\(M=\gamma(c_1/c_0)^{-\gamma}\)

aplicando o ln em M, temos que:
\(lnM=ln(\gamma)-\gamma[ln(c_1/c_0)]\)

Substituindo a equação acima na equação final da parte 1 e utilizando novamente propriedades básicas da variância e da esperança temos que:

\(ln(\overline{r})=-ln(\gamma)+\gamma.E(ln(c_1/c_0))-\frac{\gamma^2\sigma^2_{ln(c_1/c_0)}}{2}\)

Que é o resultado que estavamos procurando.

PARTE 3

Note que ocorre um crescimento da variância do consumo afeta negativamente o retorno livre de risco, isso pode ser entendido como uma precaução tomada pelos agentes de modo a manter o consumo estável.
Observe que o \(\gamma\) na função CRRA é entendido como o coeficiente de aversão ao risco. O mesmo também apresenta um efeito duplo em relação ao ativo livre de risco, pois como:

\(\frac{\partial ln(\overline{r})}{\partial \gamma} = \frac{-1}{\gamma}+E(ln(c_1/c_0)-\gamma\sigma^2_{(c_1/c_0)}\)

Pode ser negativo ou positivo.

comentou Dez 13, 2016 por Edmar Rocha Pereira (21 pontos)  
A resposta está bem elaborada, bem clara e didática! A solução em três partes, além de responder ao que foi questionado, também facilita o entendimento da questão! não notei nada grave na solução! somente um erro de concordância no inicio da parte 3, que pode dificultar um pouco o entendimento da relação entre crescimento da variância do consumo e o retorno livre de risco!
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