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Quais os valores das constantes que garantem que o sistema abaixo tenha Solução ou Solução Única?

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perguntada Mai 10, 2017 em Matemática por danielcajueiro (5,186 pontos)  

Quais os valores de \(\alpha\) e \(\beta\) que garantem que o sistema abaixo
tenha (a) Solução; (b) Solução Única?

\[\alpha x_1 + \beta x_2 + 2x_3=1\] \[\alpha x_1 + (2\beta -1) x_2 + 3 x_3 = 1\] \[\alpha x_1 + \beta x_2 + (\beta+3) x_3 =2 \beta-1\]

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1 Resposta

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respondida Mai 10, 2017 por danielcajueiro (5,186 pontos)  

Para resolver esse problema, vamos considerar a matriz aumentada do sistema linear:

\[A=\left[\begin{array}{ccc|c} \alpha & \beta & 2 & 1 \\ \alpha & 2\beta -1 & 3 & 1\\ \alpha & \beta & \beta+3 & 2\beta-1 \end{array}\right].\]

Eu vou tentar usar uma sequência de operações linha elementares que reduzem a necessidade de contas chatas.

\(L_2\rightarrow L_2-L_1\)

\[A=\left[\begin{array}{ccc|c} \alpha & \beta & 2 & 1 \\ 0 & \beta -1 & 1 & 0\\ \alpha & \beta & \beta+3 & 2\beta-1 \end{array}\right].\]

\(L_3\rightarrow L_3-L_1\)

\[A=\left[\begin{array}{ccc|c} \alpha & \beta & 2 & 1 \\ 0 & \beta -1 & 1 & 0\\ 0 & 0 & \beta+1 & 2\beta-2 \end{array}\right].\]

\(L_1\rightarrow L_1-\frac{\beta}{\beta-1}L_2\)

\[A=\left[\begin{array}{ccc|c} \alpha & 0 & \frac{\beta-2}{\beta-1} & 1 \\ 0 & \beta -1 & 1 & 0\\ 0 & 0 & \beta+1 & 2\beta-2 \end{array}\right].\]

\(L_1\rightarrow L_1-\frac{\beta-2}{(\beta +1)(\beta-1) }L_3\)

\[A=\left[\begin{array}{ccc|c} \alpha & 0 & 0 & \frac{-\beta+5}{\beta+1} \\ 0 & \beta -1 & 1 & 0\\ 0 & 0 & \beta+1 & 2\beta-2 \end{array}\right].\]

\(L_2\rightarrow L_2-\frac{1}{\beta +1 }L_3\)

\[A=\left[\begin{array}{ccc|c} \alpha & 0 & 0 & \frac{-\beta+5}{\beta+1} \\ 0 & \beta -1 & 0 & -\frac{2(\beta-1)}{\beta+1}\\ 0 & 0 & \beta+1 & 2\beta-2 \end{array}\right].\]

Vamos agora considerar o que ocorre com o sistema a depender dos valores de \(\alpha\) e \(\beta\):

1) Sem solução:

a) Ocorre quando \(\beta=-1\)

b) Ocorre quando \(\alpha=0\) e \(\beta\ne 5\)

2) Solução única

a) Ocorre quando \(\alpha\ne 0\) e \(\beta\notin \{-1,1\}\)

3) Soluções múltiplas

a) Ocorre quando \(\alpha= 0\) e \(\beta=5\)

b) Ocorre quando \(\beta= 1\) e \(\alpha\ne 0\)

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