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Resolva o problema de maximizar \(x-y^2\) sujeito ao conjunto \(x^2+y^2-4=0\) e \(x\ge 0\) e \(y\ge 0\).

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perguntada Jun 15, 2017 em Matemática por danielcajueiro (5,186 pontos)  
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respondida Jun 15, 2017 por danielcajueiro (5,186 pontos)  

i) Monte o Lagrangeano:

\[L=x-y^2-\lambda (x^2+y^2-4)-\mu_1 (- x)-\mu_2(- y)\]

ii) Encontre as condições de primeira ordem:

\[\frac{\partial L}{\partial x}=1-2\lambda x +\mu_1=0\;\;\; (1)\]

\[\frac{\partial L}{\partial y}=-2y -2\lambda y +\mu_2=0\;\;\; (2)\]

iii) Escreva as restrições de igualdade

\[x^2+y^2-4=0\;\;\; (3)\]

iv) Escreva as condições associadas as restrições de desigualdade:

\[\mu_1 x=0\;\;\; (4) \;\;\; \mu_2 y=0\;\;\; (5),\]

onde \(\mu_1\ge 0\;\;\; (6)\), \(\mu_2\ge 0\;\;\; (7)\), \(x\ge 0\;\;\; (8)\) e \(y\ge 0\;\;\;
(9)\).

v) Encontre a solução.

A solução geral do problema deve checar se as restrições de desigualdade
devem ser ativas ou não. Logo, devemos checar 4 casos.

1) Caso 1: \(\mu_1=0\) e \(\mu_2=0\) [Nenhuma das restrições é ativa]

Se \(y\ne 0\) nós podemos dividir a equação (2) por \(y\) para encontrar um valor \(\lambda=-1\) que substituindo na equação (1) encontramos um valor negativo para \(x\). Logo, esse caso não tem solução possível.

Por outro lado, se \(y=0\), encontramos \(x=2\) e \(\lambda=1/4\).

Teste o hessiano orlado (a única restrição ativa é exatamente a restrição de igualdade):

\[H_o=\left[\begin{array}{ccc} 0 & -2 & -2\\ -2 & -2\lambda & 0 \\ -2 & 0 & -2\lambda-2 \end{array} \right]\]

\[|H_o|=12\]
que tem o mesmo sinal de \((-1)^2\). Logo, é ponto de máximo.

2) Caso 2: \(\mu_1= 0\) e \(\mu_2\ne 0\) [A restrição \(y=0\) é ativa]

Nesse caso, não conseguimos satisfazer conjuntamente a equação (2) e a hipótese \(\mu_2\ne 0\).

3) Caso 3: \(\mu_1\ne 0\) e \(\mu_2= 0\) [A restrição \(x=0\) é ativa]

Note que encontramos \(\mu_1=-1\lt 0\), usando a primeira equação.

4) Caso 4: \(\mu_1\ne 0\) e \(\mu_2\ne 0\) [As duas restrições são ativas]

Se \(x=0\) e \(y=0\), não conseguimos satisfazer (3).

Logo, o único ponto de máximo é o \((x,y)=(2,0)\). Podemos ainda argumentar que o conjunto formado pelas restrições é compacto. Como a função é contínua e esse é o único máximo, ele também é global.

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