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Maximize a função \(f(x,y)=x^2 + y^2\) sujeita a \(2x+y\le 2\), \(x\ge 0\) e \(y\ge 0\).

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respondida Jun 26 por danielcajueiro (5,136 pontos)  

i) Monte o Lagrangeano:

\[L=x^2+y^2-\mu_1(2x+y-2)-\mu_2 (- x)-\mu_3(- y)\]

ii) Encontre as condições de primeira ordem:

\[\frac{\partial L}{\partial x}=2x-2\mu_1 + \mu_2=0\;\;\; (1)\]

\[\frac{\partial L}{\partial y}=2y-\mu_1+\mu_3=0\;\;\; (2)\]

iii) Escreva as condições associadas as restrições de desigualdade:

\[\mu_1 (2x+y-2)=0\;\;\; (4) \;\;\; \mu_2 x=0\;\;\; (5), \;\;\; \mu_3 y=0\;\;\; (6),\]

onde \(\mu_1\ge 0\;\;\; (7)\), \(\mu_2\ge 0\;\;\; (8)\), \(\mu_3\ge 0\;\;\; (9)\).

iv) Encontre a solução.

A solução geral do problema deve checar se as restrições de desigualdade
devem ser ativas ou não. Logo, devemos checar 9 casos.

1) Caso 1: \(\mu_1=0\), \(\mu_2=0\) e \(\mu_3=0\) [Nenhuma das restrições é ativa]

Esse caso não tem solução possível.

2) Caso 2: \(\mu_1=0\), \(\mu_2=0\) e \(\mu_3\ne 0\)

Esse caso não tem solução possível.

3) Caso 3: \(\mu_1=0\), \(\mu_2\ne 0\) e \(\mu_3=0\)

Esse caso não tem solução possível.

4) Caso 4: \(\mu_1\ne 0\), \(\mu_2= 0\) e \(\mu_3=0\)

Temos três equações

\[2x+y=2\]

\[2x-2\mu_1=0\]

\[2y-\mu_1=0\]

Resolvendo essas equações, chegamos a \(x=4/5\), \(y=2/5\) e \(\mu_1=4/5\). Estude o hessiano orlado considerando a desigualdade ativa para concluir que esse é um ponto de mínimo local.

5) Caso 5: \(\mu_1=0 \), \(\mu_2\ne 0\) e \(\mu_3\ne 0\)

Esse caso não tem solução possível.

6) Caso 6: \(\mu_1\ne 0 \), \(\mu_2= 0\) e \(\mu_3\ne 0\)

Temos quatro equações

\[y=0\]

\[2x+y=2\]

\[2x-2\mu_1=0\]

\[2y-\mu_1+\mu_3=0\]

Concluímos que \(x=\mu_1=\mu_3=1\). Note que esse ponto é predeterminado.

7) Caso 7: \(\mu_1\ne 0 \), \(\mu_2\ne 0\) e \(\mu_3= 0\)

Temos quatro equações

\[x=0\]

\[2x+y=2\]

\[2x-2\mu_1+\mu_2=0\]

\[2y-\mu_1=0\]

Concluímos que \(y=2, \; \mu_1=4, \mu_2 =8\). Esse ponto também é predeterminado e não existe nada extra a ser checado.

8) Caso 8: \(\mu_1\ne 0 \), \(\mu_2\ne 0\) e \(\mu_3\ne 0\)

Esse caso não tem solução possível.

Logo, temos um ponto de máximo global dado por \(x=0\) e \(y=2\) visto que \(f\) é contínua e o conjunto de restrições é compacto.

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