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Questão interessante de determinante que envolve o determinante de uma matriz diagonal

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perguntada Out 8 em Matemática por danielcajueiro (5,171 pontos)  

Sejam \(D=\left[\begin{array}{ccc}
d & 0 & 0 \\
0 & 2 & 0\\
0 & 0 & 3
\end{array}\right]\) e \(P=\left[\begin{array}{ccc}
7 & 0 & 2 \\
0 & 1 & 0\\
2 & 0 & 5
\end{array}\right]\). Sabe-se que \(A=P^{-1}DP\) e que \(det(A^2 + A)=1440\).
Quando vale \(d\)?

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1 Resposta

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respondida Out 8 por danielcajueiro (5,171 pontos)  

Note que \(A^2=P^{-1}DP\times P^{-1}DP=P^{-1}D^2 P\)

Note também que \(\det(A^2+A)=\det(P^{-1}D^2 P+P^{-1}D P) = \det(D+D^2)\)=1440.

Ou seja, sabendo que \(D\) é uma matriz diagonal, temos que \(72(d^2+d)=1440\). A solução dessa equação quadrática possui duas raízes iguais a 4 e -5.

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