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Subespaços vetoriais de quadrados mágicos

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perguntada Out 8 em Matemática por danielcajueiro (5,171 pontos)  

Uma matriz de ordem \(n\) cujas linhas, colunas, a diagonal principal e a diagonal
secundária somam o mesmo valor \(s\) é chamado de quadrado mágico. Considere três conjuntos possíveis de quadrados mágicos de ordem 3:

i) O conjunto de todos os quadrados mágicos de ordem 3 com todas as possíveis somas que podemos chamar de MS(3).

ii) O conjunto de todos os quadrados mágicos de ordem 3 que somam um valor fixo \(s\) que podemos chamar de \(s\)-MS(3).

iii) O conjunto de todos os quadrados mágicos de ordem 3 que somam zero que podemos chamar de \(0\)-MS(3).

Obviamente, \(0\)-MS(3) \(\subset\) \(s\)-MS(3) \(\subset\) MS(3) \(\subset\) \(\mathcal{M}_3\).

Pergunta-se:

a) Sabendo que \(\mathcal{M}_3\) é o espaço vetorial de todas as matrizes de ordem 3, quais desses conjuntos de quadrados mágicos são subespaços vetoriais de \(\mathcal{M}_3\)? Justifique com cuidado sua resposta.

b) Para aqueles conjuntos da questão (a) acima que são subespaços vetoriais (se algum deles for realmente um subespaço) indique a dimensão. Justifique todos os detalhes e apresente as contas necessárias.

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1 Resposta

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respondida Out 8 por danielcajueiro (5,171 pontos)  

Seja

\(\left[\begin{array}{ccc}
a & b & c \\
d & e & f\\
g & h & i
\end{array}\right]\) um quadrado mágico de ordem 3.

a) São subespaços vetoriais os casos (i) e (iii). Note que o caso (ii) não é subespaço vetorial, pois (por exemplo) a soma de dois quadrados mágicos cuja soma é \(s\) vai ter soma \(2s\)

b) Note que um quadrado mágico de ordem 3 cuja soma é \(s\) é a solução do seguinte sistema linear:

\(a+b+c=s\)
\(d+e+f=s\)
\(g+h+i=s\)
\(a+d+g=s\)
\(b+e+h=s\)
\(c+f+i=s\)
\(a+e+i=s\)
\(c+e+g=s\)

Para calcular a dimensão do caso (iii) apenas resolva o sistema linear (homogêneo) acima fazendo \(s=0\) ou note que trivialmente a equação 6 desse sistema uma combinação linear das anteriores (\(L_6=L_1+L_2+L_3-L_4-L5\). Portanto, a dimensão nesse caso é \(3^2- 7=2\).

Seja \(\{M_1,M_2\}\) uma base para \(0-MS(3)\). Note que \[\left\{M_1,M_2,\left[\begin{array}{ccc} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1\\ 1 & 1 & 1 \end{array}\right]\right\}\] é uma base para \(s-MS(3)\), onde o coeficiente da terceira matriz é sempre \(s/3\). Uma forma mais simples de encontrar isso é resolver os sistema linear não homogêneo acima e verificar que \(s\) é um parâmetro adicional que aparece na matriz.

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