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Qual o equilíbrio de uma economia de trocas com dois períodos e incerteza resumida em dois estados da natureza?

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perguntada Out 23 em Finanças por Carla Fernandes (11 pontos)  
editado Out 24 por Carla Fernandes

Considere uma economia de trocas com dois períodos e com incerteza resumida em dois estados da natureza. Não considere o consumo no primeiro período e suponha que existam dois agentes com dotações respectivamente dadas por \((1,0)^\prime\) e \((0,1)^\prime\) . As funções de utilidade dos agentes são dadas
por

\[U^{1} (c_{1}^{1},c_{2}^{1})=1\log(c_{1}^{1})+ 1 \log (c_{2}^{1})\;\; \;\;\; U^{2} (c_{1}^{2},c_{2}^{2})=1\log(c_{1}^{2})+ 1 \log (c_{2}^{2})\]

a) Encontre o equilíbrio.

b) Quais os motivos que justificam a comercialização de ativos entre os agentes nesse modelo?

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1 Resposta

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respondida Out 24 por Carla Fernandes (11 pontos)  
editado Out 24 por Carla Fernandes

Hipóteses são as seguintes:

(i) economia de trocas;

(ii) dois períodos;

(iii) dois estados da natureza: 1 e 2;

(iv) dois agentes;

(v) não existe consumo no primeiro período;

(vi) a função de utilidade do agente i, para i = 1, 2, é dada por
\(U^i(c_1^i, c_2^i) = 1ln(c_1^i) + 1ln(c_2^i)\)

(vii) as dotações dos agentes 1 e 2 são dadas, respectivamente, por:
\(w^1 = (1,0)^\prime\) e \(w^2 = (0,1)^\prime\), em que a primeira coordenada de cada um desses vetores designa a dotação no estado da natureza 1 e a segunda
coordenada designa a dotação no estado da natureza 2.

Resposta da letra a: encontre o equilíbrio

A notação aqui empregada segue o padrão utilizado em classe: h designa a carteira, c designa o consumo no segundo período, p designa os preços dos ativos e os lambdas representam os multiplicadores de lagrange.
Os subescritos denotam cada um dos estados da natureza e os superescritos denotam cada um dos agentes.

Os ativos estão em poder dos agentes 1 e 2 na forma de dotação, de modo que a matriz de payoff é dada por: \(X = [x1 \; x2]\), em que x1 e x2 são vetores-coluna, com \(x1 = (1, 0)'\) e \(x2 = (0, 1)'\).

O problema de otimização para cada agente i, com i=1,2, é especificado como:

\[ \max_{c_1^i,c_2^i,h_1^i,h_2^i} U^i(c_1^i,c_2^i) \; \; \; \; \; (1) \]
sujeito a
\(p_1h_1^i + p_2h_2^i \leq 0 \; \; \; \; \; (2) \)
\( c_1^i \leq w_1^i + h_1^i \; \; \; \; \; (3) \)
\( c_2^i \leq w_2^i + h_2^i \; \; \; \; \; (4) \)
\( c_1^i \geq0 \; \; \; \; \; (5) \)
\( c_2^i \geq 0 \; \; \; \; \; (6) \)

Logo, o lagrangeano pode ser escrito da seguinte forma:

\( L(c_1^i,c_2^i,h_1^i,h_2^i, \lambda_1, \lambda_2, \lambda_3, \lambda_4, \lambda_5) = U^i(c_1^i,c_2^i) - \lambda_1(p_1h_1^i + p_2h_2^i) \; \; \; \; \; (7) \)
\( - \lambda_2(c_1^i - w_1^i - h_1^i) - \lambda_3(c_2^i - w_2^i - h_2^i) + \lambda_4 c_1^i + \lambda_5c_2^i \)}

Note que a primeira restrição (equação (2)) decorre da hipótese de que \( c_0^i = w_0^i=0 \) para cada agente i.
Como a função utilidade é definida em termos do logarítmo natural, então as restrições de não-negatividade dos consumos são satisfeitas como desigualdades estritas, de modo que seus respectivos multiplicadores de lagrange ( \( \lambda_4 \) e \( \lambda_5 \) ) são nulos. Além disso, como a função utilidade é estritamente crescente, as demais restrições são satisfeitas como igualdades.

Incorporando as considerações do parágrafo anterior, derivando o lagrangeano em relação a cada variável de escolha e aos multiplicadores de lagrange e igualando as derivadas a zero, chegamos às seguintes condições para o ótimo:

\( \lambda_2 = 1 / c_1^i \; \; \; \; \; (8) \)
\( \lambda_3 = 1 / c_2^i \; \; \; \; \; (9) \)
\( -\lambda_1p_1 + \lambda_2 = 0 \; \; \; \; \; (10) \)
\( -\lambda_1p_2 + \lambda_3 = 0 \; \; \; \; \; (11) \)

Note que as condições acima são necessárias e suficientes para o ótimo porque a função utilidade é côncava (a derivada de segunda ordem de ln(c) é negativa).

Subsituindo (8) em (10) e (9) em (11), obtemos as equações (12) e (13), respectivamente:

\( \lambda_1p_1 = 1 / c_1^i \; \; \; \; \; (12) \)
\( \lambda_1p_2 = 1 / c_2^i \; \; \; \; \; (13) \)

Dividindo (12) por (13), concluímos que a razão entre os consumos nos dois estados da natureza é igual à razão entre os preços dos ativos, conforme nos mostra a equação (14) para i = 1, 2.

\( c_2^i / c_1^i = p_1 / p_2 \; \; \; \; \; (14) \)

Observe ainda que, de \( ph=0 \), obtemos (para i=1,2):

\( h_2^i = -(p_1/p_2)h_1^i \; \; \; \; \; (15) \)

Vamos, agora, encontrar os valores das carteiras de cada agente. Para isso, utilizaremos as restrições (3) e (4), que, conforme vimos, valem como igualdade. Para o agente 1, substituindo o valor das dotações \( w_1^1 = 1 \) e \( w_2^1 = 0 \) em (3) e (4), obtemos:

\( c_1^1 = 1 + h_1^1 \; \; \; \; \; (16) \)
\( c_2^1 = h_2^1 \; \; \; \; \; (17) \)

Colocando \( c_2^1\) em evidência em (14) e substituindo o resultado em (17) e, além disso, substituindo (15) em (17), chegamos a:

\( c_1^1 = -h_1^1 \; \; \; \; \; (18) \)

Substituindo esse último resultado em (16), encontramos:

\( h_1^1 = -1/2 \; \; \; \; \; (19) \)
\( h_2^1 = p_1/(2p_2) \; \; \; \; \; (20) \)

De forma análoga, obtemos a seguinte carteira para o agente 2:

\( h_1^2 = p_2/(2p_1) \; \; \; \; \; (21) \)
\( h_2^2 = -1/2 \; \; \; \; \; (22) \)

Vamos agora encontrar o preço de equilíbrio. Para isso, a condição \( h^1+ h^2 = 0 \) (note que esses h's são vetores) deve ser satisfeita, ou seja, \( h^1_1+ h^2_1 = 0 \) e \( h^1_2+ h^2_2 = 0 \). Substituindo (19)-(22) nessa condição de equilíbrio, concluímos que, no equilíbrio, \( p_1^* = p_2^* \). Substituindo essa última equação em (20) e (21), encontramos \( h^1 \) e \( h^2 \). Em seguida, substituindo os valores encontrados nas restrições relativas aos consumos nos dois estados (equações (16) e (17) para o agente 1), encontramos os seguintes níveis de equilíbrio para o consumo: \( c_1^{*1} = c_2^{*1} = c_1^{*2} = c_2^{*2} \).

Em resumo, o equilíbrio encontrado acima é dado por:

\( p_1^* = p_2^* \)
\( h_1^{*1} = h_2^{*2} = -1/2 \)
\( h_2^{*1} = h_1^{*2} = 1/2 \)
\( c_1^{*1} = c_2^{*1} = c_1^{*2} = c_2^{*2}=1/2 \)

Resposta da letra b: diga porque as trocas ocorrem

Como a utilidade marginal é positiva, decrescente e igual para os mesmos níveis de consumo nos dois estados, é melhor consumir quantidades positivas dos dois bens ao invés de consumir exclusivamente as dotações. Os agentes ganham utilidade com a troca e a troca é possível porque os agentes têm diferentes dotações em diferentes estados da natureza. Além disso, como as utilidades logarítmicas dos consumos nos dois estados têm os mesmos pesos, os níveis ótimos de consumo e preços são iguais. Dessa forma, cada agente consome parte de sua dotação e troca o restante.

comentou Dez 11 por Victor Candido (11 pontos)  
Carla, excelente solução.

Eu não faria de outra forma.

Apesar de que no meu exercício, similar ao seu, eu utilizei a técnica de igualar as taxas de trocas dos consumos dos agentes ao longo do tempo. Mas no meu caso não existia a restrição de consumo no tempo 0 e ambos os agentes possuiam as mesmas dotações, nos dois períodos de tempo.
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