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Qual o equilíbrio de uma economia de trocas sem considerar o consumo no primeiro período?

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perguntada Out 26 em Finanças por João Melo (21 pontos)  
editado Out 31 por João Melo

Considere uma economia de trocas com dois períodos e com incerteza resumida em dois estados da natureza. Não considere o consumo no primeiro período e suponha que existam dois agentes com dotações respectivamente dadas por (1; 1)' e (1; 1)' . As funções de utilidade dos agentes são dadas por:

\( U^{1} (c_{1}^1,c_{2}^{1}) = 2log(c_{1}^{1}) + 1log(c_{2}^{1}) \)
\( U^{2} (c_{1}^2,c_{2}^{2}) = 1log(c_{1}^{2}) + 2log(c_{2}^{2}) \)

a) Encontre o equilíbrio
b) Quais os motivos que justificam a comercialização de ativos entre os agentes do mercado?

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1 Resposta

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respondida Out 31 por João Melo (21 pontos)  

Antes de responder os ítens, seguem as notações e hipóteses a serem utilizadas ao longo da resolução:

1) sendo desconsiderado o consumo no primeiro período, cada função utilidade terá como parâmetros os consumos dos agentes (i=1,2) em cada estado da natureza.
2) "h" é a carteira de cada agente i, "c" o seu respectivo consumo no segundo período, por estado da natureza, e w o vetor de dotações dos respectivos indivíduos. Nesse caso, como enunciado, \(w^1\) = \(w^2\) = (1,1)'

Abaixo define-se o problema de otimização:

\(max_{c_{1}^i,c_{2}^{i}h_{1}^i,h_{2}^{i}} \) \(U^{i}(c_{1}^{i},c_{2}^{i})\)
s.a.
\(p_{1}h_{1}^{i} + p_{2}h_{2}^{i} \le 0 \)
\(c_{1}^{i} \le w_{1}^{i} + h_{1}^{i}\)
\(c_{2}^{i} \le w_{2}^{i} + h_{2}^{i}\)
\(c_{1}^{i} \ge 0\)
\(c_{2}^{i} \ge 0\)

O Lagrangeano do problema é definido abaixo, para cada indivíduo i:

\( L(c_{1}^{i},L(c_{2}^{i},h_{1}^{i},h_{2}^{i},\lambda_{1},\lambda_{2},\lambda_{3},\lambda_{4},\lambda_{5}) = U^{i}(c_{1}^{i},c_{2}^{i}) - \lambda_{1}(p_{1}h_{1}^{i} + p_{2}h_{2}^{i}) \)
\(- \lambda_{2}(c_{1}^{i} -w_{1}^{i} - h_{1}^{i}) -\lambda_{3}(c_{2}^{i} -w_{2}^{i} - h_{2}^{i}) +\lambda_{4}(c_{1}^{i}) + \lambda_{5}(c_{2}^{i})\)

Como \(d(logc)/dc = 1/c \), tem-se que o valor do consumo ótimo não poderá ser zero. Isso faz com que \(\lambda_{4}=\lambda_{5}=0\).
Além disso, como as funções utilidade do problema são estritamente crescentes, as restrições de desigualdade serão satisfeitas com igualdade.

Resolução do item a:

Feitas as considerações acima, introduz-se as condições de primeira ordem (CPO) para a resolução do problema, por indivíduo, tendo em vista que as funções de utilidade são distintas.:

CPO do indivíduo 1, por variável:

\(c_{1}^{1} \Longrightarrow \frac {2}{c_{1}^{1}} - \lambda_{2} = 0 \)
\(c_{2}^{1} \Longrightarrow \frac {1}{c_{2}^{1}} - \lambda_{3} = 0 \)
\(h_{1}^{1} \Longrightarrow -\lambda_{1}p_{1}+ \lambda_{2}= 0 \)
\(h_{1}^{1} \Longrightarrow -\lambda_{1}p_{2}+ \lambda_{3}= 0 \)

Substituindo as equações acima, chega-se nas seguintes relações:

\( \lambda_{1}p_{1}=\frac {2}{c_{1}^{1}} \)
\( \lambda_{1}p_{2}=\frac {1}{c_{2}^{1}} \)

A divisão das duas equações acima traz:
\( \frac{p_{1}}{p_{2}} = \frac{2c_{2}^{1}}{c_{1}^{1}} \)

Também, de ph=0, extrai-se a seguinte relação:

\( p_{1}h_{1}^{1} + p_{2}h_{2}^{1} = 0 \)
\( h_{2}^{1} = -\frac{p_{1}}{p_{2}}h_{1}^{1} \)

Para encontrar os valores de consumo e carteira ótimos, substituir-se-á as relações acima encontradas nas restrições de consumo, conforme abaixo:

\( c_{1}^{1} = 1 + h_{1}^{1} \)
\( c_{2}^{1} = 1 + h_{2}^{1} \), pois as dotações \( w^{1} \) são (1,1)'

Levando-se em conta que \( c_{2}^{1} = \frac{p_{1}}{2p_{2}}c_{1}^{1}\), e fazendo as devidas substituições nas equações acima, chega-se a:

\( 1+h_{1}^{1} = (1+h_{2}^{1}) \frac{2p_{2}}{p_{1}} \) Da relação entre \(h_{2}\) e \(h_{1}\):

\( 1+h_{1}^{1} = (1 - \frac{p_{1}}{p_{2}}h_{1}^{1}) \frac{2p_{2}}{p_{1}} \)

Rearranjando os termos e utilizando as equações de consumo chega-se às equações que definirão os valores ótimos para \(h_{1}^{1}\) , \(h_{2}^{1}\), \(c_{1}^{1}\) e , \(c_{2}^{1}\):

\( h_1^{1} = \frac{2p_{2}}{3p_{1}} - \frac{1}{3} \),
\( h_2^{1} = \frac{p_{1}}{3p_{2}} - \frac{2}{3} \) ,
\( c_1^{1} = \frac{2p_{2}}{3p_{1}} + \frac{2}{3} \),
\( c_2^{1} = \frac{p_{1}}{3p_{2}} + \frac{1}{3} \)

CPO do indivíduo 2, por variável:

\(c_{1}^{2} \Longrightarrow \frac {1}{c_{1}^{2}} - \lambda_{2} = 0 \)
\(c_{2}^{2} \Longrightarrow \frac {2}{c_{2}^{2}} - \lambda_{3} = 0 \)
\(h_{1}^{2} \Longrightarrow -\lambda_{1}p_{1}+ \lambda_{2}= 0 \)
\(h_{1}^{2} \Longrightarrow -\lambda_{1}p_{2}+ \lambda_{3}= 0 \)

Fazendo as substituições, chega-se a:

\( \frac{p_{1}}{p_{2}} = \frac{c_{2}^{2}}{2c_{1}^{2}} \), donde \(c_{2}^{2} = 2c_{1}^{2}\frac{p_{1}}{p_{2}} \)

Novamente, com base na relação acima, em ph=0 e na restrição de consumo chega-se às equações ótimas de \(h_{1}^{2}\) , \(h_{2}^{2}\), \(c_{1}^{2}\) e , \(c_{2}^{2}\) :

\( h_1^{2} = \frac{p_{2}}{3p_{1}} - \frac{2}{3} \),
\( h_2^{2} = \frac{2p_{1}}{3p_{2}} - \frac{1}{3} \) ,
\( c_1^{2} = \frac{p_{2}}{3p_{1}} + \frac{1}{3} \),
\( c_2^{2} = \frac{2p_{1}}{3p_{2}} + \frac{2}{3} \)

Preços de equilíbrio:

A relação entre os preços de equilíbrio levarão aos valores dos consumos e das carteiras que maximizarão a função objetivo. Essa condição é garantida pelo fato de que \( \frac{∂^{2}U}{∂c^{2}} < 0 \), \( \forall\) i \(\forall\) c

Os preços relativos serão revelados pela condição de market clearing. Formalmente:

\(h^{1} + h^{2} = 0 \)

Para tal, basta validar essa condição para um estado da natureza, pela regra do equilíbrio geral Walrasiano. Substituindo as equações das carteiras no equilíbrio de market clearing tem-se:

\( \frac{2p_{2}}{3p_{1}} - \frac{1}{3} + \frac{p_{2}}{3p_{1}} - \frac{2}{3} = 0 \)

É fácil verificar que \(p_{1}^{*} = p_{2}^{*}\)

Sabendo que \(p_{1}^{*} = p_{2}^{*}\), chega-se aos valores das carteiras (vetores \(h^{i} \)) e dos consumos (vetores \(c^{i}\))

Resultados:
\( h^{1} = (\frac{1}{3};-\frac{1}{3}) \)
\(c^{1}= (\frac{4}{3};\frac{2}{3}) \)
\( h^{2} = (-\frac{1}{3};\frac{1}{3}) \)
\(c^{2}= (\frac{2}{3};\frac{4}{3}) \)

Item b: Quais os motivos que justificam a comercialização de ativos entre os agentes do mercado?
As trocas ocorrem porque, apesar de os indivíduos possuírem as mesmas dotações para dos dois estados da natureza, suas funções de utilidade revelam uma preferência relativa maior para o consumo no primeiro estado da natureza, para o indivíduo 1, e para o consumo no segundo estado da natureza, para o indivíduo 2. Dessa forma, a troca é mutualmente vantajosa.

comentou Dez 8 por Carla Fernandes (11 pontos)  
editado Dez 9 por Carla Fernandes
A especificação apresentada para o problema de otimização individual assume implicitamente que a dotação em cada estado da natureza pode ser negociada separadamente. Dessa forma, é possível aos consumidores receberem x em um estado  em troca de x no outro estado. É como se cada vetor de dotação (1, 1)' fosse uma soma de dois ativos (1, 0)' e (0, 1)' e esses dois ativos, por sua vez, formariam a matriz de payoff.  Nesse contexto, o resultado apresentado é válido.

Entretanto, uma outra possibilidade seria assumir que cada dotação é um único ativo, não sendo possível negociar separadamente payoffs nos diferentes estados da natureza. Esse ativo seria um ativo livre de risco e só poderia ser negociado como tal.  Assim, teríamos o caso de S=2 e J=1. Logo, a carteira hi seria um escalar para cada indivíduo i, com i = 1,2 e o posto da matriz de payoff seria 1. Além disso,  no equilíbrio, hi = 0, para todo i. Embora o consumidor 1 possa aumentar sua utilidade aumentando a quantidade consumida no estado 1,  ele não vai conseguir fazer isso. Caso ele tente comprar uma carteira que lhe proporcione um x a mais no estado 1, como o ativo é livre de risco, o payoff vai ser de um x a mais nos dois estados. Isso vai se refletir num x a menos para o consumidor 2 e numa piora para 2.

Portanto, a hipótese de mercados completos é crucial para a resposta apresentada.
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