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Como apreçar opções americanas usando o modelo binomial?

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perguntada Nov 15 em Finanças por Carla Fernandes (11 pontos)  

Considere o problema de utilizar o modelo binomial para o apreçamento de opções americanas. Apresente uma figura com a árvore binomial e explicite as modificações que
devem ser consideradas para se avaliar o direito de exercício antecipado. Finalize com um exemplo que explicite as diferenças entre apreçar um contrato de opção Europeia e um contrato de opção Americana.

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1 Resposta

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respondida Nov 15 por Carla Fernandes (11 pontos)  
editado Dez 8 por Carla Fernandes

Para responder a questão, será utilizado o exemplo apresentado no
livro Risk Management and Financial Institutions do John Hull (3a edição,
2012, pp. 535-536). O exemplo considera os seguintes dados
para o apreçamento de uma opção de venda americana:
(1) volatilidade (desvio-padrão dos retornos) da ação expressa
em percentual ao ano: vol = 40% aa;
(2) taxa de juros livre de risco: r = 10% aa;
(3) prazo até o vencimento = 5 meses;
(4) preço de exercício: X = 50;
(5) preço à vista no instante 0: S0 = 50.

A árvore binomial do problema com cinco instantes futuros está na Figura 1.
Cada instante corresponde a um mês e é denotado por t.

A notação aqui utilizada segue os slides da aula sobre o modelo binomial disponíveis no link: https://drive.google.com/file/d/0ByIQGMFrgu0dN1paQUlfaVkxQUk/view.

Seguindo Hull, o movimento de alta, denotado por u, é calculado
em função da volatilidade do ativo subjacente. Embora Hull utilize a composição
contínua (ao calcular u = exp(vol * raiz(t))), no exemplo aqui apresentado,
calcula-se u da seguinte forma: u = 1 + vol * raiz(t). Como a vol está expressa
ao ano e a nossa unidade de tempo básica é de um mês, temos: t = 0.0833
= 1/12 = 21/252. Note que a volatilidade em t é obtida multiplicando
a volatilidade anual por raiz(t) em decorrência da hipótese de que
os retornos são independentes e identicamente distribuídos. Essa hipótese permite que a variância anual seja expressa como a soma das variâncias mensais. Como o
desvio-padrão é a raiz quadrada da variância, a relação entre as duas
volatilidades segue de forma imediata.

O movimento de baixa é denotado por d e calculado como d = 1/u.

Hull também calcula a taxa de juros na unidade de tempo básica t pela
composição contínua, ou seja, 1 + rt = exp(r * t). Aqui, a taxa é calculada
por: 1 + rt = (1 + r )^(t).

Tal como no caso de uma opção europeia, o processo de apreçamento começa
nos nós finais da árvore em direção ao nó inicial. Em cada nó final,
o valor da put é dado por Pfinal = máximo(X - Sfinal, 0), onde X denota
o preço de exercício e Sfinal o preço à vista em cada um dos nós finais.
Nos demais nós (intermediários e inicial), o valor de uma opção
europeia é dado por: P(t) = [qPu(t+1) + (1-q)Pd(t+1)]/(1+rt),
onde P(t) é o valor da put no nó corrente, Pu(t+1) é o valor
da put no caso de alta do preço da ação no nó seguinte, Pd(t+1)
é o valor da opção no caso de baixa do preço da ação e q é o peso atribuído à alta e é dado por q=[(1+rt)-d]/(u-d). Note que o valor da opção no nó corrente é calculado como o valor presente da média ponderada dos valores de alta e de baixa da opção no nó seguinte.

No caso de uma opção americana, em cada nó intermediário, temos o direito
do exercício antecipado. Esse direito é refletido na fórmula de
apreçamento por uma condição de máximo dada por:
P(t) = max{ [X-S(t)], [qPu(t+1) + (1-q)Pd(t+1)]/(1+rt) }, onde S(t)
é o preço à vista da ação no instante t. O direito de exercer a opção
a qualquer momento dá ao investidor a possibilidade de lucrar tanto com o
exercício antecipado em cada nó quanto com a venda do direito.
O investidor escolhe a alternativa de maior lucro.

Em resumo, os valores calculados para cada um dos parâmetros são os seguintes:
u = 1.115;
d = 0.896;
1 + rt = 1.00797;
q = 0.509.

A árvore binomial que exemplifica uma opção de venda americana está
apresentada na Figura 1. As oportunidades de exercício antecipado estão
destacadas em amarelo. Em cada nó, o valor superior se refere à ação enquanto o inferior se refere à opção. Note que a opção americana é mais cara do que a opção europeia em decorrência do direito adicional de exercício antecipado.

A Figura 2 apresenta a mesma opção na versão europeia, sem o direito do exercício antecipado (destaques em verde).

Figura 1: opção americana (put)

A imagem será apresentada aqui.

Figura 2: opção europeia (put)

A imagem será apresentada aqui.

comentou 5 dias atrás por João Melo (21 pontos)  
Parabéns pela resposta Carla. Nota-se que você utilizou a referência para tornar endógenos os fatores de alta (u) e de baixa (d), com base na volatilidade do ativo subjacente, e não os tomou como dados, como na resolução mais simples que efetuei (http://prorum.com/index.php/3388/como-aprecar-opcoes-asiaticas-usando-o-modelo-binomial). Adiciono que, para o caso das ações cotadas na Bolsa de Valores de São Paulo (Bovespa), a consulta à volatilidade dos ativos é possível para quatro janelas temporais (1M, 3M, 6M, 1 ano), por meio de link: http://www.bmfbovespa.com.br/pt_br/servicos/market-data/consultas/mercado-a-vista/volatilidades-dos-ativos/
Esse input pode ser interessante para exercícios empíricos futuros eventualmente demandados aos alunos da disciplina.
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