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Peguntas sobre matrizes similares e diagonalização de matrizes

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perguntada Abr 28 em Matemática por danielcajueiro (5,236 pontos)  

(i) Se \(A\) e \(B\) são diagonalizáveis pela mesma matriz, então \(AB=BA\).

(ii) Se \(A\) é diagonalizável, então todas as matrizes similares a \(A\) também são.

(iii) Se \(A\) e \(B\) são similares, então elas possuem os mesmos autovalores e os mesmos autovetores.

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1 Resposta

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respondida Abr 28 por danielcajueiro (5,236 pontos)  

(i) Está aqui

(ii) Se \(A\) é diagonalizável, então \(D_A=M^{-1}A M\). Se \(B\) é similar a \(B\) então \(B=N^{-1}AN\).

Logo, \(A=MD_A M^{-1}\). Portanto, \(B=N^{-1}AN=N^{-1}MD_A M^{-1}N=PD_AP^{-1},\)
onde \(P=N^{-1}M\).

(iii) É falso, pois elas não possuem os mesmos autovetores (como visto em sala).

Sejam \(A\) e \(B\) matrizes semelhantes, onde \(B=M^{-1}A M\). Então,
se \(v\) for um autovetor de \(A\) correspondente ao autovalor \(\lambda\), então \(M^{-1}v\)
é um autovetor de \(B\) correspondente ao autovalor \(\lambda\).

Prova feita em sala:

Se \(Av=\lambda v\) então \(B(M^{-1} v)=(M^{-1}A M)M^{-1} v=M^{-1}(A v)=M^{-1}(\lambda
v)=\lambda (M^{-1}v)\).

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