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Subespaço vetorial do espaço de polinômios

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perguntada Abr 28 em Outros por danielcajueiro (5,236 pontos)  

Seja \(\mathcal{P}_4\) o espaço de polinômios de grau 4 ou menor que 4. Seja \(V\) o subconjunto de \(\mathcal{P}_4\) formado por todos os polinômios que são divisíveis por \(x^2+2x+1\).

Pergunta-se:

a) \(V\) é um subespaço vetorial de \(\mathcal{P}_4\)?

Em caso de (a) ser verdadeiro, determine:

b) Determine a dimensão de \(V\).

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1 Resposta

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respondida Abr 28 por danielcajueiro (5,236 pontos)  

Note que essa questão é bem parecida com essa questão e também essa.

Seja \(s(x)=x^2+2x+1\). De fato, todos os polinômios de \(\mathcal{P}_4\) divisíveis por \(s(x)\) podem ser escritos como \(p(x)=(ax^2+bx+c)(x^2+2x+1)\).

Suponha que \(p, q\in V\). Portanto, \(p(x)=a(x)s(x)\) e \(q(x)=b(x)s(x)\), onde \(a(x),b(x)\) são polinômios quaisquer de grau 2.
Logo, \(\alpha p(x)\) pertence a \(V\) e \(p(x)+q(x)=a(x)s(x)+b(x)s(x)=(a(x)+b(x))s(x)\in V\).
Portanto, \(V\) é subespaço.

Note que a dimensão de \(V\) é 3, pois pode ser escrito pela combinação linear de 3 vetores independentes.

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