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Qual é a condição necessária e suficiente para um hiperplano ser um subespaço vetorial?

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perguntada Abr 2, 2015 em Matemática por danielcajueiro (5,051 pontos)  
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respondida Abr 2, 2015 por danielcajueiro (5,051 pontos)  

Lembre primeiro o que significa um hiperplano.

Um hiperplano é um subespaço vetorial se ele passa pela origem, ou seja, o hiperplano é o conjunto de pontos que satisfaz \(a_1 x_1 +\cdots a_n x_n=0\).

Prova:
Primeiro assuma que o hiperplano passa pela origem. Então de fato para encontrar os pontos que pertencem ao hiperplano precisamos resolver um sistema linear homogêneo com apenas uma equação. Conclua a prova usando o fato que o conjunto solução de um sistema linear homogêneo é um subespaço vetorial (veja aqui)

Para provar que o hiperplano precisa passar pela origem, suponha por contraposição que o hiperplano não passa pelo origem, ou seja, \(a_1 x_1 +\cdots a_n x_n=b\), onde \(b\ne 0\).
Note que esse conjunto de pontos não é um subespaço vetorial, pois se duas soluções pertencem ao conjunto solução desse sistema, a soma delas não pertence.

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