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Como determinar matrizes de ordem 2 que comutam entre si?

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perguntada Mar 4, 2015 em Matemática por danielcajueiro (5,081 pontos)  
editado Mar 15, 2015 por danielcajueiro

Determine todas as matrizes que comutam com
\[A=\left[\begin{array}{cc} a & b \\ c & d \\ \end{array}\right],\]
\(a,b,c,d\in\Re\).

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1 Resposta

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respondida Mar 10, 2015 por danielcajueiro (5,081 pontos)  
editado Mar 15, 2015 por danielcajueiro

Essa questão é um pouco trabalhosa, mas vamos olhar os argumentos principais.

Defina a matriz \[B=\left[\begin{array}{cc} e & f \\ g & h \\ \end{array}\right],\]
\(e,f,g,h\in\Re\).

Logo, o que queremos é determinar são todas as matrizes \(B\) que comutam com \(A\), isto é, \(AB=BA\):

\[AB=\left[\begin{array}{cc} ae+bg & af+bh \\ ce+dg & cf+dh \\ \end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc} ea+fc & eb+fd \\ ga+hc & gb+hd \\ \end{array}\right]=BA\]
.
Logo, temos que \(bg=fc\), \(af+bh=eb+fd\) e \(ce+dg=ga+hc\). Ou seja, \(b/f=c/g\), \((a-d)/(e-h)=b/f\) e \((a-d)/(e-h)=c/g\). Então, precisamos que os elementos da matriz \(B\) satisfaçam \(b/f=c/g\) e \((a-d)/(e-h)=b/f\).

comentou Set 14 por João Vitor Borges (1 ponto)  
editado Set 14 por João Vitor Borges
Professor,

Não entendi como o senhor chegou a estas duas igualdades (a−d)/(e−h)=b/f  e (a−d)/(e−h)=c/g. Poderia me ajudar?

Att,
Joao Borges
comentou Set 15 por danielcajueiro (5,081 pontos)  
Só jogar o lado direito das equações anteriores para o lado esquerdo!
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