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O traço do produto de duas matrizes depende da ordem do produto das matrizes?

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perguntada Mar 4, 2015 em Matemática por danielcajueiro (5,171 pontos)  
editado Mar 15, 2015 por danielcajueiro

O traço \(\mathrm{tr}\) de uma matriz é a soma dos elementos da diagonal principal. Mostre que dadas duas matrizes \(A\) e \(B\) de ordem \(n\), \(\mathrm{tr}(AB)=\mathrm{tr}(BA)\).

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1 Resposta

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respondida Mar 10, 2015 por danielcajueiro (5,171 pontos)  
editado Mar 15, 2015 por danielcajueiro

Apenas note que para uma matriz \(M\) de ordem \(n\), \(\mathrm{tr}(M)=\sum_{i} M_{ii}\).

Logo,

\[tr(AB)=\sum_{i=1}^{m} (AB)_{ii}=\sum_{i=1}^{m}\sum_{j=1}^{n}A_{ij}B_{ji}=\sum_{j=1}^{n}\sum_{i=1}^{m}B_{ji}A_{ij}\]

\[= \sum_{j=1}^{n} (AB)_{jj}=tr(BA)\]

comentou Mar 19, 2016 por João Vitor Alencar (1 ponto)  
Professor, você aceitaria a explicação de que a afirmação pode ser verdadeira se A-1(INVERSA DE A)=B. Deste modo, AxA-1=In e A-1xA=In.
comentou Mar 19, 2016 por danielcajueiro (5,171 pontos)  
Estamos falando de traço. Não entendi a relação com o que vc mencionou sobre inversa.
comentou Mar 22, 2016 por Natália Sarellas (1 ponto)  
republicada Mar 23, 2016 por Natália Sarellas
Professor, esta notação (AB)ii significa "linha i de A x coluna i de B"? Gostaria de entender como se lê isso. Como A e B estão em maiúsculas na sua resposta, entendi que seriam as linhas/colunas inteiras ao invés de cada entrada, correto? Neste caso, posso dizer que A e B (linhas/colunas) respeitam as mesmas regras de números escalares?

Fiz o exercício abrindo as matrizes resultantes da multiplicação de AB e BA e observando que os valores se repetem em ambos, mas ficou muito extensa.
comentou Mar 23, 2016 por danielcajueiro (5,171 pontos)  
\((AB)_ii\) significa elemento \(ii\) da matriz produto.
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