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Como escolher corretamente um limiar nesse jogo para maximizar o meu ganho?

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perguntada Abr 14, 2015 em Estatística por danielcajueiro (5,051 pontos)  

Seja \(X\) uma variável aleatória exponencial com valor esperado \(\lambda\). Considere que um amigo o convida para participar do seguinte jogo. Você deve escolher um limiar \(l\) que se \(X\ge l\) então você ganha \(l\) e, em caso contrário, você perde \(l\). Como fazer a escolha ótima desse limiar?

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1 Resposta

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respondida Abr 15, 2015 por santiago (131 pontos)  
selecionada Abr 15, 2015 por danielcajueiro
 
Melhor resposta

O jogador ganha \(l\) com uma probabilidade \(P(X\ge l) = e^{(-\lambda l)}\), e perde \(l\) com uma probabilidade \(P(X\le l) = 1-e^{(-\lambda l)}\) .

Então si o jogador escolhe um limar \(l\), o retorno do jogo e dado por
\(r(l) = l \ P(X\ge l) - l \ P(X\le l)\) substituindo pela função de distribuição acumulada de exponencial, obtemos que

\(r(l) = l \ e^{(-\lambda l)} - l \ (1-e^{(-\lambda l)})\) ou
\(r(l) = 2 l \ e^{(-\lambda l)} - l\)

A distribuição exponencial aumenta a densidade (no extremo esquerdo) quando o valor de \( \lambda \) aumenta. Consequentemente si queremos ter um retorno positivo, devemos reduzir o valor de nossa aposta \(l\) quando \(\lambda\) aumenta.

Para obter o valor de \(l \) que maximize o nosso retorno, devemos calcular a derivada de \(r(l)\) com respeito de \(l\), igualar a 0 e resolver a equação.

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