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Por que mesmo em um pequeno grupo de pessoas existe uma probabilidade alta de duas delas fazerem aniversário no mesmo dia?

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perguntada Abr 18, 2015 em Estatística por danielcajueiro (5,081 pontos)  
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1 Resposta

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respondida Abr 26, 2015 por danielcajueiro (5,081 pontos)  

Defina \(P(x)\) como a probabilidade de pelo menos duas pessoas de um grupo de \(n\) pessoas fazerem aniversário no mesmo dia do ano e \(P(y)=1-P(x)\) como a probabilidade de nenhuma pessoa desse grupo de \(n\) pessoas fazerem aniversário no mesmo dia. Note que é mais fácil calcular \(P(y)\) que \(P(x)\).

Considere que existe apenas uma pessoa no grupo. Logo, a probabilidade de uma única pessoa não fazer aniversário no mesmo dia que ninguém mais é \(\frac{365}{365}=1\).

Considere agora que uma pessoa nova chegou ao grupo, a probabilidade da primeira pessoa e dessa segunda pessoa não fazerem aniversário no mesmo dia é \(\frac{365}{365}\times \frac{364}{365}\). É como se ela pudesse ter 364 dias de aniversários possíveis. Em apenas 1 dia do ano, ela teria o aniversário no mesmo dia que aquele que já pertence ao grupo.

De novo, considere agora que uma terceira pessoa chegou ao grupo, a probabilidade da terceira pessoa não fazer aniversário no mesmo dia que a primeira e a segunda pessoa é \(\frac{363}{365}\). É como se ela pudesse ter 363 dias de aniversários possíveis. Em apenas 2 dias do ano, ela teria o aniversário no mesmo dia que àqueles que já pertence ao grupo. Considerando os outros eventos que já ocorreram, a probabilidade de nenhuma delas fazer aniversário no mesmo dia é \(\frac{365}{365}\times \frac{364}{365}\times \frac{363}{365}\).

Logo, fazendo uma recurssão, A probabilidade de \(n\) pessoas não fazerem aniversário no mesmo dia é

\[P(y)=\frac{365}{365}\times \frac{364}{365}\times\cdots\times \frac{365-(n-1)}{365}=\frac{365!/(365-n)!}{365^n}\]

Estamos interessados em \(P(x)=1-P(y)\). Note que \(P(x)\) cresce rapidamente na figura abaixo (a código usado para gerar essa figura está aqui):

A imagem será apresentada aqui.

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