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O que é a derivada de uma função? Como calcular a derivada?

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perguntada Abr 21, 2015 em Matemática por danielcajueiro (5,171 pontos)  
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1 Resposta

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respondida Abr 21, 2015 por danielcajueiro (5,171 pontos)  
editado Mai 2, 2015 por danielcajueiro

Seja \(y=f(x)\) uma função. A derivada de uma função, denotada por \(\frac{dy}{dx}\) ,intuitivamente mede a taxa de variação de uma função em um determinado ponto. Basicamente, estamos interessados em calcular como variações de \(x\) causam variações de \(y\) ou, mais precisamente, na razão \(\frac{\Delta y}{\Delta x}.\)

Como calcular essa razão num ponto \(x=u\)?

A imagem será apresentada aqui.

Suponha que estamos querendo calcular o valor dessa taxa quando \(x\) varia de \(u\) para \(u+h\). Note que nesse caso, \(y\) variará de \(f(u)\) para \(f(u+h)\). Portanto, nesse caso, percebemos que \(\Delta x= h \) e \(\Delta y=f(u+h)-f(u)\) e estamos interessados em calcular a razão

\[\frac{f(u+h)-f(u)}{h}\]

Observe que se \(h\) for grande, no fim do dia, teremos pouca informação sobre o ponto \(u\) de interesse. Portanto, é interessante calcular essa razão para valores bem pequenos de \(h\). Mais precisamente quando \(h\rightarrow 0\), ou seja, no limite quando \(h\) tende para zero.

Exemplo: Considere que \(y=f(x)=x^2\).

Nesse caso, a razão acima se torna

\[\frac{(u+h)^2-(u)^2}{h}=\frac{h^2+ 2uh }{h}=h+2u\]

Finalmente, fazendo \(h\rightarrow 0\), chegamos a \(\frac{dy}{dx}(x=u)=2u\).

Formalmente, a derivada é definida como \(\frac{dy}{dx}(x=u)=\lim_{h\rightarrow 0}\frac{f(u+h)-f(u)}{h}\).

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