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O que é a regra da cadeia em cálculo diferencial?

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perguntada Abr 22, 2015 em Matemática por danielcajueiro (5,081 pontos)  
recategorizado Abr 22, 2015 por danielcajueiro

Considere que esta pergunta vem de um aluno de um primeiro curso de cálculo.

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1 Resposta

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respondida Abr 22, 2015 por danielcajueiro (5,081 pontos)  

A regra da cadeia é uma fórmula para o cálculo da derivada da função composta.

Para especificar a notação, funções compostas são funções combinadas de forma que os argumentos de uma função são os valores retornados pela outra função como, por exemplo, \(F(x)=g(f(x))\). Ou seja, para se calcular o valor de \(F(x)\) primeiro calcula-se o valor \(y=f(x)\) e depois usa-se \(y\) para calcular o valor \(F(x)=g(f(x))=g(y)\).

Pode-se mostrar que a fórmula para se calcular a derivada de \(F(x\) é dada por

\[F\'(x)=g\'(f(x))f\' (x).\]

De fato, a prova é simples, pois precisa-se calcular todos os limites (derivadas), que existem pois assume-se que \(f\) e \(g\) são diferenciáveis.

Exemplo: Calcule a derivada de \(F(x)=\left(1+\frac{1}{x^2}\right)^{10}.\)

Defina \(f(x)=1+\frac{1}{x^2}\) e \(g(x)=x^{10}.\)

Note que \(f'(x)=\) e \(g'(x)=10x^9\).

Portanto, \(F'(x)=10\left(1+\frac{1}{x^2}\right)^9 \times (-2x^{-3})=-\frac{20}{x^3}\left(1+\frac{1}{x^2}\right)^9. \)

comentou Abr 22, 2015 por danielcajueiro (5,081 pontos)  
Talvez alguém possa colocar a prova desse resultado e outros exemplos.
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