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Alguém pode me explicar "por que" e "como" é feita a análise baseada em derivadas para encontrar máximos e mínimos locais de funções reais?

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perguntada Abr 30, 2015 em Matemática por danielcajueiro (5,081 pontos)  
reclassificado Mai 1, 2015 por danielcajueiro

Considere que essa pergunta é feita por um aluno em seu primeiro curso de cálculo.

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1 Resposta

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respondida Mai 13, 2015 por danielcajueiro (5,081 pontos)  

Normalmente, usa-se uma receita simples:

1) Supondo que a primeira derivada da função é bem definida, calcula-se a primeira derivada da função e iguala-se a zero. Ou seja, busca-se por pontos em que a primeira derivada é nula.

Por que?

Se a primeira derivada não for nula, isso implica que a função está crescendo ou decrescendo. Logo, o ponto não pode ser máximo nem mínimo. Chame os pontos de derivada nula de pontos críticos da função.

2) Calcula-se agora a segunda derivada da função nos pontos críticos. Esses pontos serão extremos se a segunda derivada da função nesses pontos não for nula. Em particular, um ponto crítico será ponto de máximo se a derivada for negativa e ponto de mínimo se a derivada for positiva.

Por que?

Considere por exemplo o caso de um ponto crítico \(p\) que é ponto de máximo. Note que \(f'(p)=0\). Então, se \(f''(p)<0\), na vizinhança de \(p\), \(f'(p)\) é sempre crescente. Logo, ela passa de um valor negativo, se anula em \(p\) e depois se torna positiva. Concluindo, antes de \(p\) a função \(f\) é crescente e depois de \(p\) a função \(f\) é decrescente. Logo, \(p\) é um ponto de máximo. Uma análise equivalente pode ser feita para o caso de ponto de mínimo.</p>

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