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Duas matrizes cuja soma é igual ao produto comutam no produto?

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perguntada Mai 12, 2015 em Matemática por danielcajueiro (5,051 pontos)  

Sejam \(A\) e \(B\) duas matrizes quadradas tais que \(A+B=AB\). Então, podemos afirmar que \(A\) e \(B\) comutam?

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1 Resposta

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respondida Mai 12, 2015 por danielcajueiro (5,051 pontos)  

Note que a intuição sugere que sim.

Formalmente, note que podemos reescrever \(A+B=AB\) como \(A+B-AB=0\).

Por outro lado, note que \((I-A)(I-B)=I-A-B+AB\) e usando a equação anterior chegamos a \((I-A)(I-B)=I\). Logo, \((I-A)\) é a inversa de \((I-B)\), pois multiplicando essa matriz por ela chegamos a identidade, e vice-versa.

Logo, podemos reescrever \((I-B)(I-A)=I\) que implica que \(BA=A+B\) que mostra o resultado.

comentou Jun 19 por Fabiano (1 ponto)  
Professor,

Não entendi o passo que levou de \(A + B -AB=0\) para \((I-A)(I-B)=I\). Não seria \((I-A)(I-B)=-I\)? Ademais, o quê, na equação \((I-A)(I-B)=I\) informa que \(I-A\) é inversa de \(I-B\)?
comentou Jun 19 por danielcajueiro (5,051 pontos)  
Editei acima para tentar deixar mais claro o raciocinio. Veja se resolve.
comentou Jun 23 por MARCOS CALDAS (1 ponto)  
Professor, na verdade o senhor prova a comutativadede da adição e não na multiplicação, correto ? Não teria faltado na pergunta isso ?

(I-A)(I-B)= I - B - A + AB
(I-A)(I-B)= I - (B + A) + AB
(I-A)(I-B)= I - (A + B) + AB
(I-A)(I-B)= I - AB + AB
(I-A)(I-B)= I

Grato.
comentou Jun 24 por danielcajueiro (5,051 pontos)  
Não, ou não entendi o que vc esta falando. A comutatividade da adicao de matrizes sempre eh valida para qualquer matriz. O que a questao diz é que para essa classe de matrizes que satisfaz a equacao acima, elas tb comutam no produto.
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