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Esses vetores são linearmente independentes?

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perguntada Mai 12, 2015 em Matemática por danielcajueiro (5,171 pontos)  
recategorizado Mai 12, 2015 por danielcajueiro

Os vetores \((v1,v2-v1,\cdots,vn-v1)\) serem LI, implica que \((v1,v2,\cdots,vn)\) são LI?

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1 Resposta

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respondida Mai 12, 2015 por danielcajueiro (5,171 pontos)  
editado Mai 12, 2015 por danielcajueiro

Sim.

Como hipótese temos que a equação vetorial

\[c1 v1 + c2 (v2-v1) +\cdots + cn (vn-v1)=0\]

possui todos os coeficientes nulos.

Rearrume essa equação como

\[(c1-c2-\cdots -cn)v1 + c2 v2 +\cdots cn vn=0.\]

Note que todos os \(b_i\)s abaixo também são nulos

\[b1 v1 + b2 v2 +\cdots + bn vn=0,\]

pois:

\(bn=cn=0\)

\(\vdots\)

\(b2=c2=0\)

\(b1=c1-c2-\cdots -cn=0\)

...