Primeira vez aqui? Seja bem vindo e cheque o FAQ!
x

A intersecção finita de conjuntos abertos é um conjunto aberto?

+1 voto
474 visitas
perguntada Mai 23, 2015 em Matemática por Lorena (141 pontos)  
Compartilhe

1 Resposta

+1 voto
respondida Mai 24, 2015 por danielcajueiro (5,051 pontos)  

Para simplificar a prova suponha que a definição de norma é a convencional que é dada pelo produto interno no \(\Re^n\). Ou seja, no \(\Re^1\) Estamos falando de intervalos abertos. No \(\Re^2\), círculos...

Sejam \(A_1\) e \(A_2\) dois conjuntos abertos. Estamos interessados na intersecção \(A_1 \cap A_2\). Seja \(x\in A_1 \cap A_2\). Logo, \(x\in A_i\). Como \(A_i\) é aberto, existe uma bola aberta com raio \(\epsilon_i\) e centro \(x\). Escolha \(\epsilon=min(\epsilon_1,\epsilon_2)\). Logo existe uma bola aberta de centro \(x\) e raio \(\epsilon\). Note que a prova é igual para um número finito de conjuntos.

O que pode dar errado no caso de um número infinito?

Simplesmente, \(\epsilon_i\) pode estar definido por uma sequencia que converge para zero. Por exemplo, em \(R^1\) considere a intersecção \(\cap_{n\in \mathbb{N}}(-1/n,1/n)\). Note que o conjunto da intersecção é \(\{0\}\) e é fechado.

...