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Quantos limites têm uma sequência?

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perguntada Mai 29, 2015 em Matemática por Lorena (141 pontos)  
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2 Respostas

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respondida Jun 14, 2015 por Ivo Terek (21 pontos)  
selecionada Jun 15, 2015 por danielcajueiro
 
Melhor resposta

Definição: Uma sequência em um espaço topológico \( (X, \tau)\) é uma função \(x: \mathbb{N} \to X;\) Denotamos \(x(n)\) por \(x_n\), e a sequência por \((x_n)_{n \in \Bbb N}\).

Definição: Um espaço topológico \((X, \tau)\) é um espaço de Hausdorff se dados \(x,y \in X\), com \(x \neq y\), existem vizinhanças disjuntas de \(U\) e \(V\).

Definição: Uma sequência \( (x_n)_{n \in \Bbb N} \) em um espaço topológico \( (X, \tau) \) converge para um ponto \(x \in X\) se para toda vizinhança \( V \) de \(x\) existe \( n_0 \in \Bbb N \) tal que \( x_n \in V \) para todo \( n > n_0 \). Notamos este fato por \( x_n \to x \).

Teorema: limites de sequências são únicos para sequências em espaços de Hausdorff. Neste caso, mantendo a notação da definição acima, o ponto \(x\) é dito o limite da sequência \( (x_n)_{n \in \Bbb N} \) e pode ser denotado por \( x = \lim_{n \to +\infty}x_n \).

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respondida Mai 29, 2015 por Lorena (141 pontos)  

Uma sequência no \(\Re^n\) (em qualquer espaço métrico) tem, no máximo, um limite.

Uma sequência não pode se aproximar e permanecer perto de dois pontos diferentes. Suponha que uma sequência tenha dois limites : \(r_1\) e \(r_2\). Tomamos como \(\epsilon\) um número menor do que a metade da distância entre r1 e r2, digamos \(\epsilon = \frac{1}{4} | r_1 – r_2|\) , de modo que os intervalos de \(r_1\) e \(r_2\) são disjuntos. Como \(X\rightarrow r_1\), existe um N1 tal que todos os elementos da sequencia \(X\) pertencem a uma bola aberto em torno de \(r_1\), desde que \(n\) seja maior ou igual a \(N_1\); como \(X\rightarrow r_2\), existe um \(N_2\) tal que todos \(X\) pertencem a uma bola aberta em torno de \(r_2\), desde que \(n\) seja maior ou igual a \(N_2\). Portanto, todos os \(X\) pertencem as bolas abertas em torno de \(r_1\) e \(r_2\), para todos \(n\) maiores ou igual \(\max(N_1, N_2)\). Mas nenhum ponto pode pertencer a ambas as bolas, chegando a uma contradição.

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