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Seja \(P=\Re_{++}\) e defina a “soma” de dois números como o produto entre eles e o “produto” entre \(r\in P\) e \(\lambda\in\Re\) como elevar \(r\) à potência \(\lambda\). \(P\) é um espaço vetorial (EV)? Existe uma base? Qual é a dimensão do EV?

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perguntada Fev 20 em Matemática por Thiago Trafane (21 pontos)  
editado Fev 20 por Thiago Trafane

Exercícios 3, 7 e 8 do Cap. 2 do livro Linear Algebra, de Georgi E. Schilov.

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1 Resposta

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respondida Fev 20 por Thiago Trafane (21 pontos)  
editado Mar 9 por Thiago Trafane

Seja \(\bigoplus\) a operação "soma" e \( \bigotimes \) a operação "produto" que foram definidas no enunciado do problema. Logo, para verificar se \( P \) é um espaço vetorial, temos que avaliar se as operações "soma" \(\bigoplus\) e "produto" \( \bigotimes \) estão bem definidas em \( P \) e respeitam oito propriedades. Tome \( x,y,w \in P \) e \( \alpha,\beta \in \Re \) quaisquer. Então, é fácil notar que as operações estão bem definidas em \( P \): \( x \bigoplus y = xy \in \Re_{++}=P \) e \( \alpha \bigotimes x = x^\alpha \in \Re_{++}=P \). As oito propriedades são também respeitadas, como mostrado abaixo:

A1) Comutatividade da adição: \( x \bigoplus y = xy = yx = y \bigoplus x \)
A2) Associatividade da adição: \( (x \bigoplus y) \bigoplus w = (xy)w = x(yw) = x \bigoplus (y \bigoplus w) \)
A3) Elemento neutro aditivo: \( 1 \bigoplus x = 1x = x \), em que \( 1 \in P \)
A4) Inverso aditivo: \( x \bigoplus (1/x) = x(1/x) = 1 \), em que \( (1/x) \in P \)
M1) Comutatividade da multiplicação: \( \alpha \bigotimes (\beta \bigotimes x) = (x^\beta)^\alpha = x^{\alpha \beta} = (\alpha\beta) \bigotimes x \)
M2) Elemento neutro da multiplicação: \( 1 \bigotimes x = x^1 = x \)
D1) Propriedade distributiva 1: \( (\alpha + \beta) \bigotimes x = x^{\alpha + \beta} = x^\alpha x^\beta = (\alpha \bigotimes x) \bigoplus (\beta \bigotimes x) \)
D2) Propriedade distributiva 2: \( \alpha \bigotimes (x \bigoplus y) = (xy)^\alpha = x^\alpha y^\alpha = (\alpha \bigotimes x) \bigoplus (\alpha \bigotimes y) \)

Portanto, o conjunto \( P \) dotado das operações "soma" \(\bigoplus\) e "produto" \(\bigotimes\) é um espaço vetorial. Vale notar que nesse espaço vetorial o elemento nulo aditivo é o número 1 (propriedade A3) e o inverso aditivo é o inverso multiplicativo usual (propriedade A4).

Com relação à base, considere o conjunto \( B = \{e\} \subseteq P \). Para \( B \) ser uma base, é necessário que \( span(B)=P \), ou seja, \( P \subseteq span(B) \) e \( span(B) \subseteq P \). Para que \( P \subseteq span(B) \), temos que para qualquer \( x \in P \), tem que existir um \( \alpha \in \Re \) tal que \( x = \alpha \bigotimes e = e ^ \alpha \). Ora, mas aplicando logaritmo natural em ambos os lados dessa expressão, obtemos \( \alpha = \ln x \in \Re \). Para mostrar que \( span(B) \subseteq P \), tome \( y \in span(B) \) qualquer, de modo que \( y = \alpha \bigotimes e = e ^ \alpha \) para algum \( \alpha \in \Re \). Então, da propriedade da função exponencial, concluímos que \( y \in \Re_{++}=P \).

Portanto, \( span(B)=P \). Logo, para concluirmos que \( B \) é uma base de \( P \), resta apenas mostrar que esse conjunto é linearmente independente. Tomando \( \alpha \in \Re \) e lembrando que o elemento nulo da adição nesse espaço vetorial é \( 1 \in P \) (propriedade A3), temos que \( \alpha \bigotimes e = e^\alpha = 1 \) implica em \( \alpha = 0 \). Em outras palavras, \( B \) é linearmente independente.

Assim, \( B \) é uma base do espaço vetorial \( P \). Como essa base contém apenas um elemento, o número real positivo \( e \), temos que a dimensão de \( P \) é igual a 1.

comentou Mar 9 por claudiaeirado (66 pontos)  
editado Mar 9 por claudiaeirado
Parabéns, Thiago, pela resolução da questão.

De fato, para que P seja Espaço Vetorial, tem que atender às seguintes condições:

A1) Comutatividade da adição;
A2) Associatividade da adição;
A3) Existência de Elemento neutro aditivo;
A4) Existência de Inverso aditivo;
M1) Comutatividade da multiplicação;
M2) Elemento neutro da multiplicação;
D1) Distributividade da multiplicação entre a adição de escalares e um elemento de P;
D2) Distributividade da multiplicação entre escalar e a adição de elementos de P.

Todas as condições foram satisfeitas.  Importante notar que na adição de elementos de P, segue da definição de P que a operação "soma" ⨁ é o produto de dois elementos de P, como apresentado em D2. Mas no caso de D1, como a soma de escalares é realizada em \( \mathbb{R}\) , temos que é a soma convencional.

Também, foi provado que P possui uma base usando a igualdade de conjuntos \(P=span(B)\), bem como existe um conjunto de vetores linearmente independentes que geram todo esse espaço P. A prova de independência linear consiste em mostrar que a combinação linear \(\alpha ⨂ x= 1 \ (elemento \ neutro) \Leftrightarrow \alpha =0\). De fato, para qualquer \(x \in P\) vale a relação \(\alpha⨂x= x^\alpha=1 \Leftrightarrow \alpha =0, \ \forall \ x   \neq 1 \), isto é, qualquer \(x\) pode ser base de P, com exceção do 1 (elemento neutro), pois não geraria todos os elementos de P. Seja \(B=\{x\}\) uma base qualquer para gerar P com um só elemento, então a dimensão é 1.
comentou Mar 9 por Thiago Trafane (21 pontos)  
Claudia, muito obrigado pelo comentário!
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