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Considere o conjunto V de vetores \((x_1,x_2,x_3,x_4)\in\mathbb{R}^4\) tais que \(x_1+x_3=0\) e \(x_2+x_4=0\). Provar que V é um subespaço e achar sua base e dimensão.

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perguntada Fev 21 em Matemática por Samuel Ceccon (11 pontos)  

Considere o conjunto V de vetores \((x_1,x_2,x_3,x_4)\in\mathbb{R}^4\) tais que \(x_1+x_3=0\) e \(x_2+x_4=0\).

(a) Prove que V é subespaço de \(\mathbb{R}^4\)

(b) Dê a base e a dimensão de V

(c) Seja W o span dos vetores \((1,1,1,1),(1,-1,1,-1),(1,0,1,0)\). Dê a base de W e ache \(V+W\) e \(V\cap W\).

Questão 6, tópico 4.5.1 retirada do livro Essential Linear Algebra with Applications: A problem-solving approach do Titu Andreescu.

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1 Resposta

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respondida Fev 21 por Samuel Ceccon (11 pontos)  

(a) Prove que V é subespaço de \(\mathbb{R}^4\)
Um subconjunto não-vazio \( V\in\mathbb{R}^4\) é subespaço vetorial de \(\mathbb{R}^4\) caso as operações de adição e multiplicação por um escalar fiquem dentro de \(\mathbb{R}^4\). Outra condição é que o vetor nulo esteja presente em qualquer subespaço vetorial.

Começando pela prova que o vetor nulo está contido em V:
Escolhemos um escalar \(\alpha=0\). Então \(\alpha(x_1+x_3)=0(x_1+x_3)=0\in V\).
\(x_1+x_3=0\). Tomando \(x_1=x_3=0\) \(\rightarrow 0+0=0\)
\(x_2+x_4=0\). Tomando \(x_2=x_4=0\) \(\rightarrow 0+0=0\)
Portanto V é subconjunto não vazio, já que possui o vetor nulo (\(0\in V\)).

Supondo \(\vec{W}=(w_1,w_2,w_3,w_4)\) e \(\vec{Y}=(y_1,y_2,y_3,y_4)\) com \(w_1,w_2,w_3,w_4,y_1,y_2,y_3,y_4\in\mathbb{R}\) e supondo \(\vec{W},\vec{Y}\in \vec{V}\):
\(\vec{W}+\vec{Y}=(w_1+y_1,w_2+y_2,w_3+y_3,w_4+y_4)\)
\((w_1+y_1)+(w_3+y_3)=0\) e \((w_2+y_2)+(w_4+y_4)=0\)
Por associatividade:
\(\Rightarrow (w_1+w_3)+(y_1+y_3)=0\) e \((w_2+w_4)+(y_2+y_4)=0\)
\(\Rightarrow 0+0=0\in V\)

\(\vec{V}=(x_1,x_2,x_3,x_4)\). Multiplicando por um escalar \(\alpha\rightarrow\) \(\alpha\vec{V}=(\alpha x_1,\alpha x_2,\alpha x_3,\alpha x_4)\).
Sabemos que \(x_3=-x_1\) e \(x_4=-x_2\), portanto
\((\alpha x_1)+(\alpha (-x_1))=0\) e \((\alpha x_2)+(\alpha (-x_2))=0\)
\(\Rightarrow 0+0=0\in V\)

(b) Dê a base e a dimensão de V.
Antes de iniciar este exercício é importante saber o que é uma combinação linear, o que é span, e o que é ser linearmente independente:

Definição: Combinação Linear
Uma combinação linear de vetores \(x_1,\cdots,x_K\) em \(\mathbb{R}^N\) é um vetor
\(y=\sum_{k=1}^{K}\alpha_kx_k=\alpha_1x_1+\cdots+\alpha_Kx_K\)
Isto é, é um vetor que pode ser escrito como combinação de outros vetores quando multiplicados por escalares \(\alpha\).

Definição: Span
Seja \(X\subset\mathbb{R}^N\) um conjunto não-vazio. O conjunto com todas as possíveis combinações lineares dos elementos de X é chamado de span(X).
\(span(X)=\{\)todos os vetores \(\sum_{k=1}^{K}\alpha_kx_k\) tais que \((\alpha_1,\cdots,\alpha_K)\in\mathbb{R}^K\)}

Definição: Independência Linear
Um conjunto de vetores é linearmente independente(LI) se
\(\sum_{k=1}^{K}\alpha_kx_k=0\Rightarrow\alpha_1=\cdots=\alpha_K=0\)
Isto é, nenhum dos vetores pode ser escrito como combinação linear dos outros.

Uma base precisa ser linearmente independente e gerar o conjunto V. A dimensão de V será o número mínimo de vetores necessários para gerá-lo, ou seja, o número de vetores da base.

Como \(x_3=-(x_1)\) e \(x_4=-(x_2)\rightarrow\) \(V=\{(x_1,x_2,-x_1,-x_2)|x_1,x_2\in\mathbb{R}\}\)
\(=\{x_1v_1+x_2v_2|x_1,x_2\in\mathbb{R}\}\) onde \(v_1=(1,0,-1,0),v_2=(0,1,0,-1)\)
\(v_1\) e \(v_2\) são LI, já que \(x_1v_1+x_2v_2=0\) implica \((x_1,x_2,-x_1,-x_2)=(0,0,0,0)\) e \(x_1=x_2=0\).
Portanto a base é formada pelos vetores \((1,0,-1,0)(0,1,0,-1)\) e a dimensão é igual a dois.

(c) Seja W o span dos vetores \((1,1,1,1),(1,-1,1,-1),(1,0,1,0)\). Dê a base de W e ache \(V+W\) e \(V\cap W\).
Temos que \((1,-1,1,-1)=2(1,0,1,0)-(1,1,1,1)\), logo o conjunto é LD e podemos remover o vetor \((1,-1,1,-1)\), já que não faz parte da base. Portanto a base de W é formada pelos vetores \((1,0,1,0)(1,1,1,1)\).
Podemos confirmar que é uma base provando que os dois vetores são linearmente independentes: \(\alpha(1,0,1,0)+\beta(1,1,1,1)=(0,0,0,0)\)
\(\alpha+\beta=0\)
\(0+\beta=0\)
\(\alpha=\beta=0\), logo é LI, portanto base.

Para \(V\cap W\) temos que a intersecção de V e W em um espaço vetorial consiste em todos os vetores que pertencem tanto a V quando à W:
\((x,y,z,w)=\alpha(1,0,-1,0)+\beta(0,1,0,-1)\) *
\((x,y,z,w)=\gamma(1,0,1,0)+\theta(1,1,1,1)\) **
\(x=\alpha\)
\(y=\beta\)
\(z=-\alpha\)
\(w=-\beta\)
\(x=\gamma+\theta\)
\(y=\theta\)
\(z=\gamma+\theta\)
\(w=\theta\)

Ou seja:
\(\alpha=\gamma+\theta\)
\(\beta=\theta\)
\(-\alpha=\gamma+\theta\)
\(-\beta=\theta\)

Resolvendo o sistema chegamos em
\(\alpha=\beta=\gamma=\theta=0\)
Logo \(V\cap W\) é o vetor \(\{(0,0,0,0)\}\).

A soma dos subespaços \(V+W\) consiste em todos os vetores na forma \(v+w\), com \(v\in V\) e \(w\in W\).
Vimos que \(V\cap W=\{(0,0,0,0)\}\), portanto em \(V+W\) temos que todo vetor em \(V+W\) pode ser escrito de forma única como \(v+w\) ou seja, uma soma direta \(V\oplus W\), portanto a base sera \(\{(1,0,-1,0),(0,1,0,-1),(1,0,1,0),(1,1,1,1)\}\).

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