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Considere as seguintes operações no espaço de todos polinômios em t: a) Multiplicação por t; b) Multiplicação por \( t^2 \); c) Diferenciação. Esses operadores são lineares?

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perguntada Mar 5 em Matemática por Fabio Fujita (36 pontos)  
editado Mai 12 por Fabio Fujita

Exercício 3 do Capítulo 4 do livro “Linear Algebra” de Georgi Shilov

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1 Resposta

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respondida Mar 5 por Fabio Fujita (36 pontos)  

Definições
Uma operação T no espaço de polinômios em t é dita linear se, dados os polinômios f(t) e g(t), e as constantes reais \( \alpha\) e \( \beta\), obtivermos:

\(T(\alpha. f(t) + \beta. g(t))=\alpha. T(f(t))+ \beta. T(g(t)) \)

Considere os seguintes polinômios:

\(f(t) = c_n t^n + c_{n-1}. t^{n-1} + ... + c_1 .t^1 + c_0\)
\(g(t) = b_m t^m + b_{m-1}. t^{m-1} + ... + b_1 .t^1 + b_0\)

A) Multiplicação por t

\(T(\alpha. f(t) + \beta. g(t))\)
\(=t[\alpha .f(t)+\beta .g(t)]\)
\( = t.\alpha .f(t) + t.\beta .g(t) \)
\( = \alpha [t.f(t)] + \beta [t.g(t)] \)
\(=\alpha T(f(t))+ \beta T(g(t))\)

Portanto, a multiplicação de um polinômio por t é uma operação linear, sendo que na prova foram utilizadas somente propriedades básicas da multiplicação (distributividade, comutatividade e associatividade).

B) Multiplicação por \(t^2\)

\(T(\alpha .f(t) + \beta. g(t))\)
\(=t^2[\alpha .f(t)+\beta .g(t)]\)
\( = t^2.\alpha. f(t) + t^2.\beta. g(t) \)
\( = \alpha [t^2 .f(t)] + \beta [t^2 .g(t)] \)
\(=\alpha. T(f(t))+ \beta. T(g(t))\)

Portanto, a multiplicação de um polinômio por \(t^2\) é uma operação linear, sendo que na prova foram utilizadas somente propriedades básicas da multiplicação (distributividade, comutatividade e associatividade).

C) Diferenciação

\( T(\alpha .f(t) + \beta. g(t)) = \frac{d}{dt} [\alpha.f(t)+\beta.g(t)]\)

Usando a propriedade da derivada da soma de funções, obtemos:

\( T(\alpha .f(t) + \beta. g(t)) = \frac{d}{dt} [\alpha.f(t)] + \frac{d}{dt} [\beta.g(t)]\)

Como \(\alpha\) e \(\beta\) são constantes, segue que:

\( T(\alpha .f(t) + \beta. g(t)) = \alpha.\frac{d}{dt} (f(t)) + \beta. \frac{d}{dt} (g(t)) \)
\( T(\alpha .f(t) + \beta. g(t)) =\alpha. T(f(t))+ \beta. T(g(t))\)

Concluímos, portanto, que a diferenciação de polinômios é uma operação linear.

comentou Mai 3 por Vinícius Oliveira (11 pontos)  
editado Mai 3 por Vinícius Oliveira
Ótima solução, pois você utilizou assertivamente as propriedades necessárias para resolver o exercício. Em particular, inicialmente, as ideias chave para a resolução são as propriedades necessárias e suficientes para caracterizar uma função \( f \) como transformação linear:

\(1.\) a imagem da função aplicada na soma de dois elementos equivale a soma das imagens da função  aplicada individualmente a cada elemento. Isto é, \( f(x+y) = f(x)+ f(y) \)

\(2. \) o produto de um escalar pela imagem da função aplicada a um dado elemento x equivale a imagem da função aplicada nesse mesmo elemento multiplicado por esse escalar. Isto é, dado \( \alpha \in \mathbb{R} \), \(  \alpha f(x) = f( \alpha x) \)

No caso dos itens a) e b), usando a forma geral de um polinômio, testar  as propriedades \(1\) e \(2\) se reduz a usar as propriedades básicas da multiplicação, conforme  o Fábio fez.

O item que exige algum conhecimento a mais é, de fato, o item c), pois é necessário estar familiarizado com o instrumental de Cálculo 1. Em minha resolução, eu havia derivado explicitamente a forma geral de um polinômio com respeito a \(t\) e mostrado a validade das propriedades \(1\) e \(2\).
 
No entanto, com efeito, a solução proposta pelo Fábio é a mais eficiente. Afinal, ao utilizarmos diretamente as propriedades básicas do operador derivada (derivada da soma e multiplicação por constante), a prova sai de forma muito mais imediata, sem precisar se fazer praticamente nenhuma conta.
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