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Suponha que (X,Y) seja uniformemente distribuída sobre a região definida por \(-1 ≤ x ≤ 1\) e \(0 ≤ y ≤ 1 - x^2\). Encontre as funções de densidade marginal de X e Y e as duas funções de densidade condicional.

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perguntada Mar 15 em Estatística por Luiz Guilherme Hass (11 pontos)  
editado Mai 18 por Luiz Guilherme Hass

a) Encontre as funções de densidade marginal de X e Y.

b) Encontre as duas funções de densidade condicional.

Exercício nº 9 do capítulo 3 do Livro “Mathematical Statistics and Data Analysis " de John A. Rice.

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1 Resposta

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respondida Mar 15 por Luiz Guilherme Hass (11 pontos)  
editado Mar 15 por Luiz Guilherme Hass

a) Encontre as funções de densidade marginal de X e Y.

Em uma distribuição uniforme, a função densidade de probabilidade é constante, portanto, será C.

Sendo \(f(x) = C\) \(, \) \(-1 ≤ x ≤ 1\) e \(0 ≤ y ≤ 1 - x^2\)

\(∫_{-∞}^{+∞}∫_{-∞}^{+∞}f(x,y)dxdy = 1\)

\(∫_{-1}^{+1}\left(∫_{0}^{1-x^2}f(x)dy \right)dx\) =

\(∫_{-1}^{+1}\left(∫_{0}^{1-x^2}Cdy \right)dx\) =

\(= \left( (x - \frac{x^3}{3})C\right)_{-1}^{+1} = \frac{4}{3}C\)

\( \frac{4}{3}C=1\), então:

\(C = f_{X,Y}(x,y) = \frac{3}{4}\)

\(f_{X,Y}(x,y) = \frac{3}{4}\), \(-1 ≤ x ≤ 1, \ 0 ≤ y ≤ 1 - x^2 \)

- Função de densidade marginal de X: \(f_{X}(x)\)

\(f_{X}(x)\)= \(∫_{0}^{1-x^2} \frac{3}{4} dy\)

\(f_{X}(x)= \frac{3}{4}(1-x^2)\)\(, -1 ≤ x ≤ 1\)

- Função de densidade marginal de Y: \(f_{Y}(y)\)

\(y = 1 - x^2\) → \(x=_-^+ (1 - y)\)

\(f_{Y}(y)\)= \(∫_{-1+y}^{1-y} \frac{3}{4} dx\)

\(f_{Y}(y)\)\(=\frac{3}{2}(1-y)\)\(, 0 ≤ y ≤ 1\)

b) Encontre as duas funções de densidade condicional.

- Probabilidade condicional de X dado Y = y:

\(f_{X|Y}(x|y) = \frac{f_{X,Y}(x,y)}{f_{Y}(y)}\)

\(f_{X|Y}(x|y) = \frac{\frac{3}{4}}{\frac{3}{2}(1-y)}\)

\(f_{X|Y}(x|y) = \frac{1}{2-2y}\)

- Probabilidade condicional de Y dado X = x:

\(f_{Y|X}(y|x) = \frac{f_{X,Y}(x,y)}{f_{X}(x)}\)

\(f_{Y|X}(y|x) = \frac{\frac{3}{4}}{\frac{3}{4}(1-x^2)}\)

\(f_{Y|X}(y|x) = \frac{1}{(1-x^2)}\)

comentou Mar 15 por Fábio Springer (11 pontos)  
A resposta está excelente, muito bem explicada com o passo a passo bem intuitivo. Uma parte importante e que está bem descrita na sua resposta é a definição do intervalo de integração, especialmente para encontrar a marginal de \(y\).

A FDP de uma uniforme é sempre uma constante \(C\) para \(X\) dentro de um intervalo e zero caso contrário, Isso é: \(f(x) = \frac{1}{b-a} \forall\  X \in [a,b]\) e \(f(x) = 0 caso contrário\). Esse fato não tem muita relevância para o exercício, mas fica de curiosidade.
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