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Aproximação de uma distribuição de Poisson para distribuição Normal.

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perguntada Abr 10 em Estatística por Alan Antunes Rosendo (26 pontos)  
editado Mai 15 por Alan Antunes Rosendo

Suponha que o número de acidentes de trânsito, N, em um período de tempo dado é distribuído como uma variável aleatória de Poisson com \(E(N)=100\). Use a aproximação de Poisson para Normal para encontrar \(\Delta\) tal que \(P(100-\Delta < N<100+\Delta)\approx 0,9 \).</p>

Questão 4ª do Cap 5 do livro "Mathematical statistics and data analysis" do autor John A. Rice

Observação: questão editada, modifiquei o título e acrescentei a referência na questão.

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1 Resposta

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respondida Abr 10 por Alan Antunes Rosendo (26 pontos)  
editado Abr 10 por Alan Antunes Rosendo

Em uma distribuição Poisson, temos que quando \(\lambda\rightarrow\infty \), a distribuição pode ser aproximada por uma distribuição Normal.
Neste caso, temos: \(E(N)=\lambda =100\). Como \(\lambda\) é um número alto, iremos fazer a aproximação por uma distribuição Normal.
Das características da distribuição de Poisson, temos:
\(E(N)=Var(N)=\lambda = 100\)
Fazendo a "normalização" da distribuição, temos:
\[P(100-\Delta < N < 100 + \Delta)=\]\[=P\bigg(\frac{100-\Delta -E(N)}{\sqrt{Var(N)}}<\frac{N-E(N)}{\sqrt{Var(N)}}<\frac{100-\Delta -E(N)}{\sqrt{Var(N)}}\bigg)\]<br> Substituindo os valores, temos:
\[P\bigg(\frac{100-\Delta -100}{\sqrt{100}}<\frac{N-E(N)}{\sqrt{Var(N)}}<\frac{100+\Delta -100}{\sqrt{100}}\bigg)=\]<br> \[=P\bigg(\frac{-\Delta}{10}<\frac{N-E(N)}{\sqrt{Var(N)}}<\frac{+\Delta}{10}\bigg)\approx\Phi\bigg(\frac{\Delta}{10}\bigg)-\Phi\bigg(-\frac{\Delta}{10}\bigg)=\]<br> \[=\Phi\bigg(\frac{\Delta}{10}\bigg)-\bigg(1-\Phi\bigg(\frac{\Delta}{10}\bigg)\bigg)=2*\Phi\bigg(\frac{\Delta}{10}\bigg)-1\]
Da questão, temos:
\[P(100-\Delta < N < 100 + \Delta)\approx0,9\]
Substituindo, temos:
\[2*\Phi\bigg(\frac{\Delta}{10}\bigg)-1\approx 0,9\Rightarrow 2*\Phi\bigg(\frac{\Delta}{10}\bigg)\approx 1,9\Rightarrow \Phi\bigg(\frac{\Delta}{10}\bigg)\approx 0,95\]
Utilizando a tabela 2 do apêndice B:
\[\Phi(1,64)=0,9495\]\[\Phi(1,65)=0,9505\]
Aproximaremos, utilizando a média, então iremos considerar:
\[\Phi(1,645)\approx 0,95\]
Substituindo, temos:
\[\frac{\Delta}{10}\approx1,645\Rightarrow \Delta \approx 16,45\]

comentou Mai 21 por CICERO FILHO (26 pontos)  
Resposta simples e objetiva.

Complemento que a distribuição de Poisson pode ser aproximada pela distribuição normal para valores “maiores” do parâmetro λ.  A distribuição de Poisson é uma distribuição discreta com probabilidade aplicável a ocorrências de uma determinada quantidade de eventos em um intervalo específico.

Ao calcular a probabilidade usando essa aproximação (Poisson), também é preciso adotar a correção de continuidade, analogamente ao caso da distribuição binomial, dado que é um ajuste que é feito quando uma distribuição discreta é aproximada por uma distribuição contínua.
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