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Qual a distribuição de probabilidade aproximada da localização de um bêbado que dá um passo por minuto, cada passo sendo na direção norte ou sul?

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perguntada Abr 14 em Estatística por Pedro Silva (1 ponto)  

Problema 14 do capítulo 5 do livro "Mathematical Statistics and Data Analysis" do autor John Rice.

Enunciado detalhado do problema:
Um bêbado faz um "passeio aleatório" da seguinte maneira: a cada minuto ele dá um passo para o Norte ou para o Sul, com probabilidade de 2/3 para Norte e 1/3 para Sul, sendo cada passo independente dos demais. Cada passo dele mede 50cm. Use o teorema do limite central para aproximar a distribuição de probabilidade da localização dele depois de 1h.

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1 Resposta

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respondida Abr 14 por Pedro Silva (1 ponto)  
editado Abr 18 por Pedro Silva

Se considerarmos Norte como o sentido positivo de deslocamento e Sul o sentido negativo, então podemos representar o deslocamento do bêbado a cada passo em metros como uma variável aleatória discreta \(X\) com a seguinte função de probabilidade:

\[X_n = \begin{cases} 0.5\text{, } p = 2/3 \\ -0.5 \text{, }p=1/3\end{cases}\]

Após sucessivos passos independentes, o deslocamento total do bêbado após \(N\) minutos pode ser representado pela soma do deslocamento de cada passo:

\[S_N = X_1 + X_2 + \cdots + X_N\]

Pelo Teorema Central do Limite, quando \(N \rightarrow\infty\), a variável
\[Z_N =\frac{S_N-N\mu}{\sqrt{N}\sigma}\]

onde \(\mu\) e \(\sigma ^2\) são a média e a variância de \(X_N\), respectivamente, terá distribuição normal com média \(0\) e variância \(1\). Isto é, \(Z_n \xrightarrow[]{d} N(0,1)\). Considerando \(N = 60\) uma quantidade suficientemente grande de repetições para aproximar a distribuição de \(S_N\) pelo Teorema Central do Limite, então escrevendo \(S_N\) em função de \(Z_N\) teremos:
\[S_N = \sqrt{N}\sigma Z_N + N\mu\]
Uma vez que \(Z_N\) segue uma distribuição normal padrão, então \(S_N\) seguirá uma normal com as seguintes média e variância:

\[E[S_N] = \sqrt{N}\sigma E[Z_N]+N\mu = N\mu \\ Var(S_N) = N\sigma^2Var(Z_N) = N\sigma^2\]

Como \(N = 60\) pois em uma hora o bêbado dá 60 passos, basta calcular \(\mu\) e \(\sigma ^2\) para encontrar os parâmetros da normal que seguirá a variável \(S_N\).

\[\mu = E[X_N] = \sum x_i * P(X = x_i) = 0.5*2/3 -0.5*1/3 \approx 0.1667 \\ E[(X_N)^2] = \sum x_i^2 * P(X = x_i) = 0.5^2*2/3 +(-0.5)^2*1/3 \approx 0.25\\\sigma ^2 = Var(X_n) = E[(X_n)^2] - \mu ^2 \approx 0.2222\]

Com esses resultados voltamos e calculamos a média e a variância de \(S_N\)

\[E[S_N] = N\mu = 10\\ Var(S_N) = N\sigma^2 \approx 13.3333 \]

Portanto, \(S_N\) segue aproximadamente uma distribuição normal com média 10 e variância 13.3333. Isso quer dizer que depois de uma hora o bêbado provavelmente estará a 10 metros ao norte de sua posição inicial com variância de 13.3333. Utilizando a ferramenta do site https://homepage.divms.uiowa.edu/~mbognar/applets/normal.html podemos representar graficamente a distribuição de probabilidade da localização do bêbado após uma hora. O eixo das abscissas pode ser interpretado como a distância em metros ao norte da posição inicial do bêbado.

A imagem será apresentada aqui.

comentou Abr 17 por Fabio Fujita (36 pontos)  
Olá Pedro.

O raciocínio usado na sua solução e a aplicação do teorema do limite central estão corretos. De fato, pelo TLC, a agregação de um número suficientemente grande de variáveis aleatórias iid resultará em uma variável aleatória com distribuição aproximadamente normal, sendo que em sua solução foi utilizada a aproximação pela normal padrão.

Houve apenas um pequeno deslize no cálculo de \( E[(X_n)^2]\) que acaba afetando a variância \( \sigma^2\) da variável aleatória \( X_n \) e, consequentemente, a variância da posição final do bêbado.

Note que, em sua solução, consta:

\(  E[(X_n)^2] = \sum x_i^2*P(X=x_i) =0.5^2*2/3-0,5^2*1/3  \approx 0.0833        \)

O correto, no entanto, seria:

\(  E[(X_n)^2] = \sum x_i^2*P(X=x_i) =0.5^2*2/3+ (-0,5)^2*1/3  = 0.25        \)

Logo:

\(  \sigma^2 = E[(X_n)^2] - \mu^2       \approx     0.2222         \)

Obtendo então que:
\( Var(S_N)=N\sigma^2\approx 13.3333\)

Logo, pela aproximação do teorema do limite central, a posição final do bêbado será dada, em metros, por \( S_{60}  \approx  N(10; 13.3333) \) ao norte do ponto de origem. Note que a variância é significativamente mais elevada do que a que você obteve.

Sugiro então, caso concorde, fazer a correção do cálculo e da figura ao término de sua solução.

Um abraço.
comentou Abr 18 por Pedro Silva (1 ponto)  
Fábio, você está certíssimo! Obrigado pela correção, acabei errando a conta da variância. Vou corrigir. Abraço.
comentou Abr 18 por Fabio Fujita (36 pontos)  
Oi Pedro.

É necessário fazer um ajuste adicional na figura ao final da solução. Note que o que está atualmente plotado é uma curva normal de média 10 e variância \( 177.689 = 13.33^2\). Não consegui acessar o aplicativo que você usou, mas tudo indica que ele tem como entrada a média e o desvio padrão da curva.

Como calculamos que a variância é aproximadamente 13.3333, se o aplicativo tem como entrada o desvio padrão, é necessário informar que \( \sigma\approx3.6515\).

Um abraço.
comentou Abr 18 por Pedro Silva (1 ponto)  
Perfeito. Foi a pressa em fazer a correção. Obrigado,Fábio.
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