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Exercício 49 do capítulo 2 do livro "Mathematical Statistics and Data Analysis" de John A. Rice

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perguntada Abr 23 em Matemática por Gustavo Libório (1 ponto)  

A função gama é uma função que generaliza o conceito de fatorial. Ela é dada por: \[\Gamma(x)=\int_{0}^{\infty}e^{-t}t^{x-1}dt\]

a) Mostre que \(\Gamma(1)=1\)

b) Mostre que \(\Gamma(x + 1)=(x+1)\Gamma(x)\)

c) Conclua que \(\Gamma(n)=(n-1)!\) para \(n\) natural.

d) Use o fato de que \(\Gamma(\frac{1}{2})=\sqrt{\pi}\) para mostrar que \(\Gamma(\frac{n}{2})=\frac{\sqrt{\pi}(n-1)!}{2^{n-1}\bigg(\frac{n-1}{2}\bigg)!}\)

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1 Resposta

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respondida Abr 23 por Gustavo Libório (1 ponto)  
 
Melhor resposta

A resolução vai usar essencialmente a definição da função gama.

a) Colocando diretamente \(x=1\) na definição concluímos que:

\[ \Gamma(1)=\int_0^{\infty}e^{-t}tdt \Rightarrow \Gamma(1)= -e^-t\bigg\vert_{0}^{\infty} \Rightarrow \Gamma(1)=0-(-1)=1\]

como queríamos.

b) Calculando \(\Gamma(n+1)\) vemos que ele é igual a \(\int_0^{\infty} e^{-t} t^{n}dt\). Vamos calcular diretamente \(n\Gamma(n)\) e comprovar a igualdade:

\[ n\Gamma(n)=n\int_0^{\infty}e^{-t}t^{n-1}dt = \int_0^{\infty}e^{-t}(nt^{n-1})dt\]

Integrando por partes a expressão acima (com \(g(x)-e^{-x} \mbox{ e } f'(x)=nt^{n-1}\) ) encotramos a expressão:

\[ n\Gamma(n)=t^n e^{-t}\bigg\vert_0^{\infty}+\int_0^{\infty}e^{-t}t^{n}dt\]

Note que \(\frac{t^n}{e^{t}} \to 0 \mbox{ quando } t\to\infty\), de modo que concluímos com:

\[ n\Gamma(n)=0-0+\int_0^{\infty}e^{-t}t^{n}d=\Gamma(n+1)\]

como pede a questão.

c) A letra b) vale para todo \(n\), então se tomarmos um \(n\in \mathbb{N}\) e usarmos a propriedade sucessivas vezes é fácil ver que:

\[\Gamma(n)=n\Gamma(n-1)=...=n\times(n-1)\times...\times(n-(n-1))\times\Gamma(1)\]

Usando a letra a) temos o resultado.

d) Queremos mostrar que para qualquer \(n\) ímpar deve valer:
\[\Gamma(\frac{n}{2})=\frac{\sqrt{\pi}(n-1)!}{2^{n-1}\bigg(\frac{n-1}{2}\bigg)!}\]

usando o fato de que \(\Gamma(\frac{1}{2})=\sqrt{\pi}\).

Para tanto, vamos utilizar o princípio da indução. Primeiro note que qualquer número ímpar pode ser descrito por \( 2n-1 \) para \(n\) nos naturais. Assim, nossa proposição inicial é:

\[P_1: \Gamma\bigg(\frac{2-1}{2}\bigg)=\frac{\sqrt{\pi}(0)!}{2^{0}\bigg(\frac{0}{2}\bigg)!}=\sqrt{\pi}\]

O enunciado acima vale, de acordo com o enunciado da questão.

Agora queremos mostrar que:

\[(P_n\Rightarrow P_{n+1}) \iff \Bigg(\Gamma\bigg(\frac{2n-1}{2}\bigg)=\frac{\sqrt{\pi}(2n-2)!}{2^{2n-2}(n-1)!} \Bigg) \Rightarrow \Bigg( \Gamma\bigg(\frac{2(n+1)-1}{2}\bigg)=\frac{\sqrt{\pi}(2n)!}{2^{2n}(n)!} \Bigg) \]

Para tanto, vamos pegar nossa hipótese e usar a propridade da letra b).

Primeiro veja que:

\[\Gamma\bigg(\frac{2(n+1)-1}{2}\bigg)=\Gamma\bigg(\frac{2n+1}{2}\bigg)\\=\Gamma\bigg(\frac{2n+1}{2}-1+1\bigg)\\=\Gamma\bigg(\frac{2n-1}{2}+1\bigg)\]

Agora com a letra b) podemos afirmar:

\[ \Gamma\bigg(\frac{2(n+1)-1}{2}\bigg)=\Gamma\bigg(\frac{2n-1}{2}+1\bigg)=\bigg(\frac{2n-1}{2}\bigg)\Gamma\bigg(\frac{2n-1}{2}\bigg) \]

Agora usamos a hipótese. Substituindo na expressão acima e desenvolvemos:

\[ \bigg(\frac{2n-1}{2}\bigg)\bigg(\frac{\sqrt{\pi}(2n-2)!}{2^{n-1}(n-1)!} \bigg)=\\ =\bigg(\frac{\sqrt{\pi}(2n-1)!}{2^{2n-1}(n-1)!} \bigg)\\ =\bigg(\frac{\sqrt{\pi}(2n-1)!}{2^{2n-1}(n-1)!} \bigg)\times\bigg(\frac{2n}{2n}\bigg)\\ = \bigg(\frac{\sqrt{\pi}(2n)!}{2^{2n}(n)!} \bigg)\]

como queríamos. Assim concluímos que a propriedade vale para todo \(n\in \mathbb{N}\).

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