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Como resolver a questão 3 do Cap. 3 do livro Mathematical Statistics and Data Analysis, John A. Rice?

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perguntada Abr 28 em Economia por Tales Lins Costa (1 ponto)  
editado Abr 29 por Tales Lins Costa

Três jogadores jogam 10 rodadas independentes de um jogo, e cada jogador tem a probabilidade de \( \frac{1}{3}\) de vencer cada rodada. Descubra a distribuição conjunta do número de jogos ganhos por cada um dos três jogadores.

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2 Respostas

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respondida Abr 28 por Tales Lins Costa (1 ponto)  

Para encontrar essa distribuição conjunta, pode-se usar da distribuição multinomial, que conforme o livro, é uma importante generalização da conhecida distribuição binomial.

Dado \(k\) indivíduos, com suas respectivas probabilidades fixas, \(p_k\), sabemos que ocorrem \(n\) ensaios independentes. Assim, essa distribuição multinomial vai nos gerar a probabilidade de qualquer combinação particular de número de sucessos para os diferentes \(k\) indivíduos.

Sendo assim, a fórmula da distribuição multinomial é dada por:

\( p(y_1, y_2, ..., y_k) = \frac{n!}{y_1!y_2!...y_k!}\)\(p_1^{y_1}\)\(p_2^{y_2}\)\(...p_k^{y_k}\)

Para esse problema em específico, sabemos que:

\(n=10\)
\(k=3\)
\(p_1=p_2=p_3=\frac{1}{3}\)

Logo, a distribuição conjunta do número de jogos ganhos por cada um dos três jogadores será dada por:

\( p(y_1, y_2, y_3) = \frac{10!}{y_1!y_2!y_3!}\)\((\frac{1}{3})^{y_1}\)\((\frac{1}{3})^{y_2}\)\((\frac{1}{3})^{y_3}\)

Respondendo, então a pergunta.

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respondida Abr 30 por Rodrigo Fernandes (26 pontos)  

Boa resposta, Tales. Acho que você chegou no pedido de forma direta, usando os conceitos necessários e não tenho muito o que acrescentar.
Só queria colocar um curto código no Python mostrando um pouco como lidar com esse tipo de distribuição.

import numpy as np

caso = np.random.multinomial(10, [1/3.]*3, size=1) #esse é o comando para criar distribuições multinormais do exercício
print(caso) # nos são fornecidos três números. cada um indica a quantidade de vezes que saíram os casos y1, y2 e y3, respectivamente, de um total de 10 vezes (o "n" do exercício).

s = 5000 # número de simulações
a = np.asmatrix(np.zeros((s,3))) # criando uma matriz para simular um número dado de vezes (embora o comando random.multinomial já tenha uma opção de simular várias vezes, imagino que dessa forma seja mais fácil organizar)

for i in range(s): #criando uma matriz com n casos de multinormal 
    a[i] = np.random.multinomial(10, [1/3.]*3, size=1)
    i += 1

media = a.mean(0) # 

Podemos ver que a média de cada \(y_{i}\) fica perto de 3,333... e se aproxima cada vez mais com aumento de n (o leitor pode experimentar em casa se desejar). Ou seja, se aproxima do valor esperado de \(\frac{1}{3}*10\).

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