Primeira vez aqui? Seja bem vindo e cheque o FAQ!
x

Como resolver a questão 53 do Cap. 4 do livro Mathematical Statistics and Data Analysis, John A. Rice?

0 votos
23 visitas
perguntada Abr 29 em Economia por Tales Lins Costa (1 ponto)  

Mostre que \(Cov (X,Y) \leq \sqrt{Var(X)Var(Y)}\).

Compartilhe

1 Resposta

0 votos
respondida Abr 29 por Tales Lins Costa (1 ponto)  

Para responder a essa pergunta precisamos nos lembrar da definição de coeficiente de correlação entre duas variáveis, nesse caso, X e Y. O livro, na página 142, define que a correlação entre X e Y, denotada por um \(\rho\), é dada por:

\(\rho(X,Y)= \frac {Cov(X, Y)} {\sqrt{Var(X)Var(Y)}}\)

Além disso, sabemos que o valor absoluto da correlação entre duas variáveis aleatórias X e Y é no máximo 1, ou seja:

\(|\rho(X, Y)| \leq 1\) \( \Longleftrightarrow\)\(-1 \leq \rho(X, Y) \leq 1\).

Sendo assim, para provarmos a relação dada pelo problema, vamos utilizar dessa realação acima apenas que:

\(\rho(X, Y) \leq 1\)

Sendo assim, substitua a relação acima na primeira fórmula de \(\rho(X, Y)\), logo:

\(\frac {Cov(X, Y)} {\sqrt{Var(X)Var(Y)}} \leq 1\)

Por fim, multiplique os dois lados da inequação por \(\sqrt{Var(X)Var(Y)} > 0\), então:

\(Cov(X, Y) \leq \sqrt{Var(X)Var(Y)}\) \(\surd\)

Portanto está demonstrado como se chega na fórmula dada pelo problema.

comentou Abr 30 por Lucas Santos e Silva (76 pontos)  
editado Mai 1 por Lucas Santos e Silva
Boa resposta Tales! Procedeu de maneira adequada com as manipulações necessárias e fez uso das definições e conceitos corretos.

No entanto, do ponto de vista lógico, fiquei em dúvida se a prova considerada seria válida.

Tenho a impressão que está sendo usado um argumento meio circular: neste caso, o fato da correlação estar dentro do intervalo \( [-1,1] \) decorreria exatamente da propriedade que se deseja demonstrar ( \(cov [X,Y] \leq \sqrt{var[X] \times var[Y]} \) ), logo tal fato não poderia ser utilizado na demonstração a ser realizada.

Desta forma, apresento então aqui duas demonstrações alternativas como referência, umas mais direta, fazendo uso da Desigualdade de Cauchy-Schwarz para Variáveis Aleatórias, e outra mais elementar, fazendo uso de definições e propriedades de funções quadráticas (sendo que esta ajudará a deixar claro também a observação acima destacada).

\[ \]

Alternativa 1

Neste caso a Desigualdade de Cauchy-Schwarz nos diz que, se \( Z \) e \( W \) são variáveis aleatórias com segundo momento finito, então vale a seguinte relação:

\[ \mid \, E[ZW] \mid \leq \sqrt{E[Z^2] \times E[W^2] }\]

Logo, elevando os dois lados ao quadrado, obtemos:

\[  ( \, E[ZW] \,  )^2 \leq E[Z^2] \times E[W^2] \]

Definimos então \(Z\) e \( W \) como:

\[ Z = X - E[X] \]

\[ W = Y - E[Y] \]

Substituindo as mesmas na desigualdade tem-se:

\[  ( \, E[(X - E[X])(Y - E[Y])] \,  )^2 \leq E[(X - E[X])^2] \times E[(Y - E[Y])^2] \]

Notamos então que as definições de covariância e variância nos fornecem o seguinte:

\[  cov[X,Y] = E[(X - E[X])(Y - E[Y])] \]

\[ var[X] = E[(X - E[X])^2] \]

\[ var[Y] = E[(Y - E[Y])^2] \]

Desta forma, utilizando-se destas definições na desigualdade anterior, obtemos:

\[  ( cov[X,Y] )^2 \leq var[X] \times var[Y] \]

E portanto:

\[ cov [X,Y] \leq \sqrt{var[X] \times var[Y]} \]

\[ \]

Alternativa 2

Seja \( q(t) \) a seguinte função:

\[ q(t) = E[(V + tW)^2] \]

Onde:

\[ t \in \mathbb{R} \]

\[ V = X - E[X] \]

\[ W = Y - E[Y] \]

Notamos então que, como \((V + tW)^2 \geq 0 \), temos que \( q(t) \geq 0 \) para todo \( t \in \mathbb{R} \).

Adicionalmente, expandindo o quadrado de \( q(t) \) obtemos:

\[ q(t) = E[V^2 + 2tVW + t^2W^2] \]

\[ q(t) = E[V^2] + 2tE[VW] + t^2E[W^2] \]

Ou seja, temos que \( q(t) \) é uma função quadrática de \(t\):

\[ q(t) = E[W^2]t^2 + 2E[VW]t + E[V^2] \]

Sendo assim, dado que \( q(t) \geq 0 \) para todo \( t \in \mathbb{R} \), temos que seu discriminante (\( b^2 - 4ac \)) deve ser menor ou igual a zero (dado que se tivéssemos \( b^2 - 4ac > 0 \), então \( q(t) \) teria duas raízes reais distintas).

Portanto, considerando tal fato, obtemos:

\[ b^2 - 4ac \leq 0 \]

Logo:

\[ (2E[VW])^2 - 4E[W^2]E[V^2] \leq 0 \]

\[ 4(E[VW])^2 - 4E[W^2]E[V^2] \leq 0 \]

\[ 4(E[VW])^2 \leq 4E[W^2]E[V^2] \]

\[ \frac{(E[VW])^2}{E[W^2]E[V^2]} \leq 1 \]

Substituindo então \( V \) e \( W \) conforme definidos inicialmente:

\[ \frac{(E[(X - E[X])(Y - E[Y])])^2}{E[(X - E[X])^2] \times E[Y - E[Y]^2]} \leq 1 \]

No entanto, ressaltamos novamente que as definições de covariância e variância nos fornecem o seguinte:

\[  cov[X,Y] = E[(X - E[X])(Y - E[Y])] \]

\[ var[X] = E[(X - E[X])^2] \]

\[ var[Y] = E[(Y - E[Y])^2] \]

Desta forma, utilizando-se destas definições na desigualdade anterior, obtemos:

\[ \frac{(cov[X,Y])^2}{var[X] \times var[Y]} \leq 1 \]

Logo:

\[  ( cov[X,Y] )^2 \leq var[X] \times var[Y] \]

E portanto:

\[ cov [X,Y] \leq \sqrt{var[X] \times var[Y]} \]

Obs. Notar que, conforme mencionado inicialmente, dada a definição de correlação, bem como a relação abaixo (obtida anteriormente):

\[ \frac{(cov[X,Y])^2}{var[X] \times var[Y]} \leq 1 \]

Temos que:

\[ (corr[X,Y])^2 \leq 1 \]

E portanto:

\[ -1 \leq corr[X,Y] \leq 1 \]
...