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Exercício 6 - Cap 14 - Mathematical Statistics and Data Analysis - John Rice

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perguntada Mai 2 em Estatística por Alan Antunes Rosendo (1 ponto)  

Dois objetos de pesos desconhecidos \(w_1\) e \(w_2\) são pesados em uma balança de pratos sujeita a erros da seguinte forma:
(1): Objeto 1 é pesado sozinho e a medida é 3g
(2): Objeto 2 é pesado sozinho e a medida é 3g
(3): A diferença entre pesos (objeto 1 menos objeto 2) e o resultado é 1g
(4): A dos pesos é medida e o resultado é 7g

a) Defina o modelo linear, \(Y=X\beta + e\) (Dica: As entradas de X são 0 e +-1.)
b) Ache os estimados MQO de \(w_1\) e \(w_2\).
c) Ache o estimador de \(\sigma{^2}\).
d) Ache o estimador de erros padrões da estimativa MQO da letra b.
e) Estime \(w_1-w_2\) e o erro padrão.
f) Teste a hipótese nula: \(H_0:w_1=w_2\).

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1 Resposta

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respondida Mai 2 por Alan Antunes Rosendo (1 ponto)  
editado Mai 3 por Alan Antunes Rosendo

Do enunciado, temos:
\((1):w_1+e_1=3\)
\((2):w_2+e_2=3\)
\((3):w_1-w_2+e_3=1\)
\((4):w_1++w_2+e_4=7\)
a) Usando o modelo linear:
\(Y=X\beta + e\)
Montando a matriz de cada elemento:
\(Y=\begin{bmatrix}
3\\
3\\
1\\
7\\\end{bmatrix};\)
\(X=\begin{bmatrix}
1 && 0\\
0 && 1\\
1 && -1\\
1 && 1\\\end{bmatrix};\)
Temos ainda:
\[\beta=\left[\begin{array}{cc} w_1 \\ w_2 \\ \end{array}\right]\]
\[e=\left[\begin{array}{cc} e_1\\ e_2\\ e_3\\ e_4\\\end{array}\right]\]
b) O estimador de mínimos quadrados de \(\beta\) é dado por:
\(\beta =(X^{T}X)^{-1}X^{T}Y\)
Calculando cada termo separadamente, temos:
\(X^{T}X=\begin{bmatrix}
3 && 0\\
0 && 3\\
\end{bmatrix}\)
\(Det[x^{T}x]=3*3-0*0=9\)
\((X^{T}X)^{-1}=\frac{1}{9}\begin{bmatrix}
3 && 0\\
0 && 3\\
\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}
\frac{1}{3} && 0\\
0 && \frac{1}{3}\\
\end{bmatrix}\)
\(X^{T}Y=\begin{bmatrix}
1 && 0 && 1 && 1\\
0 && 1 && -1 && 1\\
\end{bmatrix}\begin{bmatrix}
3\\
3\\
1\\
7\\
\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}
11\\
9\\
\end{bmatrix}\)
Finalmente:
\(\beta =\begin{bmatrix}
\frac{1}{3} && 0 \\
0 && \frac{1}{3} \\
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
11 \\
9 \\
\end{bmatrix}=\)
\[=\left[\begin{array}{cc} \frac{11}{3} \\ 3 \\ \end{array}\right]\]\[=\left[\begin{array}{cc} \hat{w_1} \\ \hat{w_2} \\ \end{array}\right]\]
Com isso, concluímos que
\( \hat{w_1}=\frac{11}{3}\) e \( \hat{w_2}=3\)
c) Achando o estimador de \(\sigma^{2}:\)
Calculando \(\hat{Y}:\)
\[\hat{Y}=\left[\begin{array}{cc} \hat{w_1}\\ \hat{w_2}\\ \hat{w_1}-\hat{w_2}\\ \hat{w_1}+\hat{w_2}\\\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc} \frac{11}{3}\\ 3\\ \frac{2}{3}\\ \frac{20}{3}\\\end{array}\right]\]
Daí temos:
\(S^2=\frac{1}{n-2}\sum_{i=1}^{4}(y_i-\hat{y_i})^2=\frac{1}{3}\)
d) Usando os resultados anteriores, temos:
\(\sum_{\beta \beta}^{2}=S^2(X^{T}X)^{-1}=\frac{1}{3}\begin{bmatrix}
\frac{1}{3} && 0\\
0 && \frac{1}{3}\\\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}
\frac{1}{9} && 0\\
0 && \frac{1}{9}\\\end{bmatrix}\)
e) Achando o estimador de \(w_1-w_2:\)
\(\hat{w_1}-\hat{w_2}=\frac{y_1-y_2+2y_3}{3}=\frac{2}{3}\)
Determinando o erro padrão:
\(E_p=\frac{\sigma ^{2}+\sigma ^{2}+4\sigma ^{2}}{9}=\frac{2\sigma ^{2}}{3}\)
f) Testando a hipótese nula:
\(H_0:w_1=w_2 \Rightarrow w_1-w_2=0\)
Podemos utilizar a distribuição T-Student, com:
\(g=n-2=4-2=2\)
\(T=\frac{\frac{2}{3}}{\sqrt{\frac{2}{9}}}=\sqrt{2}\)
Supondo \(\alpha =5\% \), consultando a tabela de T-Student, obtemos:
\(t_2\bigg(\frac{0,05}{2}\bigg)=4,303\)
Como \(T\) é menor que \(t_2\), não podemos rejeitar a hipótese nula.

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