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Exercício 6 - Cap 3 - Mathematical Statistics and Data Analysis - John Rice

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perguntada Mai 2 em Economia por CICERO FILHO (1 ponto)  

Um ponto é escolhido randomicamente no interior de uma elipse:

\[(x^2/a^2)+(y^2/b^2)=1\]

Encontre as densidades marginais das coordenadas x e y do ponto.

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1 Resposta

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respondida Mai 2 por CICERO FILHO (1 ponto)  

Sabe-se que:

x está entre: \[c=- {\frac {a}{b}}\sqrt{b^2 - y^2}\]
e
\[{ d= }-{\frac {a}{b}}\sqrt{a^2 - y^2}\]
Enquanto y está entre:
\[{ e= }- {\frac {b}{a}}\sqrt{a^2 - x^2} \]
e
\[{ f= }{\frac {b}{a}}\sqrt{a^2 - x^2}\]

A área de uma elipse é dada por:
\[{A=} {\pi} a b \]
O conjunto de uma distribuição uniforme é o inverso da área:
\[{f(x,y)=} {\frac {1}{A}} = {\frac {1}{{\pi} a b}}\]

Assim, a densidade marginal de x é o conjunto de funções de densidade de probabilidades, integrados sobre todos os valores possíveis de y.
\[{f(x)=}\int_{e}^{f} {\frac {1}{{\pi} a b }} dy\]

\[=\frac{f-e} {{\pi} a b }\]

\[=\frac {{ 2 \frac {b} {a} \sqrt{a^2 - x^2}}} {{\pi} a b}\]

\[=\frac {{ 2 \sqrt{a^2 - x^2}}} {{\pi} a^2} \]

E a densidade marginal de y é o conjunto de funções de densidade de probabilidades, integrados sobre todos os valores possíveis de x:

\[f(y)= \int_{ c } ^ { d } {\frac { 1 } {{\pi} a b }} dx\]

\[= \frac { d-c } {{\pi} a b}\]

\[= \frac {{ 2 \frac {a} {b} \sqrt{b^2 - y^2}}} {{\pi} a b}\]

\[= \frac {{ 2 \sqrt{b^2 - y^2}}} {{\pi} b^2} \]

Portanto:

\[f(x)=\frac {{ 2 \sqrt{a^2 - x^2}}} {{\pi} a^2} \] e \[f(y)= \frac {{ 2 \sqrt{b^2 - y^2}}} {{\pi} b^2} \]

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