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Matrizes singulares e não singulares

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perguntada Set 11 em Matemática por danielcajueiro (5,486 pontos)  

Marque a alternativa verdadeira:

(a) Suponha que \(A\) e \(B\) sejam matrizes não singulares \(n \times n\). Então \(A + B\) é não singular.

(b) Se uma matriz quadrada não tem linhas ou colunas nulas, então ela tem uma matriz inversa.

(c) A forma escalonada uma matriz quadrada é inversível.

(d) Se A e B são matrizes \(n \times n\) inversíveis, então \(AB = BA\).

(e) Seja A uma matriz não singular de ordem \(2 \times 2\) e sejam \(v_1\) e \(v_2\) vetores linearmente independentes em \(\mathbb{R}^2\). Então, os vetores \(Av_1\) e \(Av_2\) são vetores linearmente independentes em \(\mathbb{R}^2\).

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1 Resposta

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respondida Set 11 por danielcajueiro (5,486 pontos)  

Note que todas as alternativas são falsas com exceção da alternativa (e).

Para concluir que \(Av_1\) e \(Av_2\) são LI, precisamos mostrar que a equação vetorial

\[c_1 Av_1 + c_2 Av_2 =0\] tem apenas a solução \(c_1=c_2=0\).

Como \(A\) tem inversa, precisamos apenas multiplicar essa equação por \(A^{-1}\). Nesse caso, temos

\[c_1 v_1 + c_2 v_2 = A^{-1} 0=0,\]

que implica que \(c_1=c_2=0\) já que \(v_1\) e \(v_2\) são LI.

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